GAMES101作业5-从头到尾理解代码&Whitted光线追踪

偏执的太偏执、 2023-09-28 08:03 106阅读 0赞

**目录**

Whitted Ray-Tracing Whitted光线追踪

What

Why

How

1 发射主射线primary ray

实现步骤

（1）定义相机

（2）计算primary主射线的方向

Renderer.cpp->render()

2 射线交互

3 获得相交对象的属性

光线与球求交&光线与面求交

sphere.hpp求交

global.hpp求根函数

回到trace()求交

std::optional

4 递归光线跟踪

reflective 表面材质类似mirror

反射光线方向

考虑误差-偏移值epsilon

Renderer.cpp->reflect()

Renderer.cpp->castRay()->case REFLECTION

transparent 透明

折射光线方向

Renderer.cpp->refract()

Renderer.cpp->castRay()->case REFLECTION\_AND\_REFRACTION

菲涅尔效应

菲涅尔方程

Special Case 特殊情况

Renderer.cpp->fresnel()

diffuse/glossy 具有漫反射特性且表面不透明

Renderer.cpp->castRay()->default:

--------------------

## Whitted Ray-Tracing Whitted光线追踪 ##

### What ###

**Whitted-style光线追踪**是由特纳惠特首次提出的，利用折射定律和菲涅尔方程来计算光线与反射或透明物体表面相交时的**反射和折射**光线的方向，遵循光线路径来获得相交对象的颜色。

### Why ###

知道了Whitted光线追踪是什么之后，接下来需要思考的是：为什么需要光线追踪呢？这是因为我们知道的**Blinn-Phong光照模型无法处理全局效果**！这一点在games101课上[P8-GAMES101-现代计算机图形学入门-闫令琪][P8-GAMES101-_-] 老师就提到过：

1.强调**Phong shading is local** \-Phong模型是局部的；NO Shadow - 不考虑阴影；

2.介绍环境光照时，假设环境光加上了一个常数颜色，并解释这样的作法其实是”fake“的，牵扯到全局光照，后续课程就会涉及到。

![5c1220e509dc431a812430de488508f6.png][]

再回到内容：到底什么是局部光照和全局光照？需要引入新的两个点：直接光照direct illumination和间接光照indirect illumination。

**局部光照 local illumination**

在这之前先说说**直接光照(direct illumination)**：通常，点光源和平行光源这种理想光源发出光线到物体表面产生的光照我们叫做直接光照。

只考虑直接光照的光照效果我们叫做局部光照。

**全局光照 global illumination**

再说说**间接光照 (indirect illumination)**：维基是这样解释的：Indirect Illumination is effectively the illumination within a scene that does not come from an actual light source, and effectively refers to reflected light.在真实世界中，不仅要考虑理想光源带来的光照效果，还有区域光的存在，光线在玻璃、镜子等物体表面之间还会发生弹射，这种现象也是组成光照的重要部分，我们称为间接光照。

考虑间接光照的光照效果我们成为全局光照。

### How ###

已经知道是什么和为什么了，下面要谈谈如何实现Whitted Ray-Tracing。

Whitted光线追踪实现步骤

参考[Whitted光线追踪实现\_0小龙虾0的博客][Whitted_0_0]可以将其分为四个模块步骤：

1.  创造主射线primary ray：从摄像机的每个像素发射一条主射线，sending rays to the scene;
2.  投射射线交互：根据发射的主射线和场景对象进行交互；
3.  获得相交对象的属性：如果主射线与物体表面有交点，则需要得到交点表面属性（法线、材质特性等）；
4.  递归光线跟踪：根据物体表面特性，判断是否要发射二次射线secondary ray（包括折射射线and反射射线），需要递归发射的两条新射线，进行跟踪计算。

## 1 发射主射线primary ray ##

sending rays into the scene.

参考：[Ray Tracing in One Weekend][]

参考  
描述：the ray tracer sends rays **through pixels** and **computes the color seen** in the direction of those rays.

### 实现步骤 ###

#### **（1）定义相机** ####

把相机中心（eye）定在(0,0,0)，Y方向向上，X向右，遵循右手定则->screen为-Z方向。

![545569ef03c2411f8336d8a1a916b7de.png][]

...
        //Image
        std::vector<Vector3f> framebuffer(scene.width * scene.height);
        //deg2rad() 度数->弧度
        float scale = std::tan(deg2rad(scene.fov * 0.5f));
        //aspect_radio=width/height
        float imageAspectRatio = scene.width / (float)scene.height;
        // Use this variable as the eye position to start your rays.
        //eye(相机中心)定为(0,0,0)
        Vector3f eye_pos(0);
    ...

#### **（2）计算primary主射线的方向** ####

参考**：**[Whitted光线追踪实现\_0小龙虾0的博客][Whitted_0_0]

需要清楚的是，这个方向是从**相机出发(0,0,0)->像素中心(x,y,z)，**把pixel从**栅格空间->世界空间，**其实就相当于做了一次**逆向光栅化**！

还记得**光栅化rastering**吗？

![659b990bb5934921867284664f1d745a.png][]

**Step.1 —— world space -> screen space**

先将**world space**场景中的点通过投影变换 -> **screen space**

一个标准cube里，这个标准空间叫做NDC space

**Step.2 —— screen space -> NDC space**（归一化设备坐标）

这个步骤就是缩放成

![\\left \[ -1,1 \\right \]^\{2\}][left _ -1_1 _right _2]（这里的1并不是像素的尺寸1，而是一个unit）

**Step.3 —— NDC space -> raster space**

把标准的cube按照raster成image的需求，从

![\\left \[ -1,1 \\right \]^\{2\}][left _ -1_1 _right _2]

按照image的尺寸拉伸成

![\\left \[ 0,ImageWidth \\right \]\\times \\left \[ 0,ImageHeight \\right \]][left _ 0_ImageWidth _right _times _left _ 0_ImageHeight _right]

这里要逆向光栅化，就反着来！

**1.首先实现raster space -> NDC space**

已知像素坐标，求NDC坐标

**![PixelNDC\_\{x\}=\\frac\{(Pixel\_\{x\}+0.5)\}\{ImageWidth\}][PixelNDC_x_frac_Pixel_x_0.5_ImageWidth]**

**![PixelNDC\_\{y\}=\\frac\{(Pixel\_\{y\}+0.5)\}\{ImageHeight\}][PixelNDC_y_frac_Pixel_y_0.5_ImageHeight]**

注意，这里的(x,y)并不是表示一个像素的中心，而是表示一个像素的左下角，我们希望光线穿过像素中心，而像素是边长为1的正方形，因此需要+0.5。但是加上之后NDC空间的坐标范围会变成

![\\left \[ 0,1 \\right \]][left _ 0_1 _right]

进行矫正：(0,0) -> (-1,-1) ，(1,0) ->(1,-1)，(1,1) ->(1,1)，(0,1) ->(-1,1)，带入得到

![PixelScreen\_\{x\}=2\*PixelNDC\_\{x\}-1][PixelScreen_x_2_PixelNDC_x_-1]

![PixelScreen\_\{y\}=1-2\*PixelNDC\_\{y\}][PixelScreen_y_1-2_PixelNDC_y]

**2.将压缩的x轴复原**

可事实是，我们的Screen往往宽高比不是1：1，往往有这样一个值来记录宽高比

![ImageAspectRatio=\\frac\{ImageWidth\}\{ImageHeight\}][ImageAspectRatio_frac_ImageWidth_ImageHeight]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

参考图来自：[Whitted光线追踪实现\_0小龙虾0的博客][Whitted_0_0]

如上图所示，以尺寸为7X5为例：由NDC\[0,1\]得到的\[-1,1\]的Screen space，为了储存下5X7=35个像素，像素在会被压缩，因为一般width>height的，因此都是在x方向被压缩，我们需要给他再变回正方形，**就要给x轴坐标乘上宽高比**，y轴保持不变。

**3.视口变换**

![14238c00f908461ba7007348de2bc604.png][]

目前这一步其实我们太搞懂，先截图放上参考的说法，之后再琢磨。

![fbe36fd403844e479eae5dae0014e073.png][]

--------------------

现在搞懂了，这个截图里的公式应该有一点错误，它所指的PixelScreen(x,y)坐标应该代表的是上述流程中的Pixel(x,y)坐标。

#### **Renderer.cpp->render()** ####

//发射主射线primary ray
    //sending rays into the scence
    void Renderer::Render(const Scene& scene)
    {
        //Image
        std::vector<Vector3f> framebuffer(scene.width * scene.height);
        //deg2rad() 度数->弧度
        float scale = std::tan(deg2rad(scene.fov * 0.5f));
        //aspect_radio=width/height
        float imageAspectRatio = scene.width / (float)scene.height;
    
        // Use this variable as the eye position to start your rays.
        //eye(相机中心)定为(0,0,0)
        Vector3f eye_pos(0);
        //遍历每个像素
        int m = 0;
        for (int j = 0; j < scene.height; ++j)
        {
            for (int i = 0; i < scene.width; ++i)
            {
                // generate primary ray direction
                //计算主射线方向
                float x;
                float y;
                // TODO: Find the x and y positions of the current pixel to get the direction
                // height->j->第j行->对应坐标为y
                // width->i->第i列->对应坐标为y 
                
                //我们这里先定义一个虚拟的窗口 -> camera
                // camera         
                x = 2 * scale * imageAspectRatio / scene.width * (i + 0.5) - scale * imageAspectRatio;
                y = -2 * scale / scene.height * (j + 0.5) + scale;
                //定义dir
                //这里直接让摄像机在世界坐标朝向(0,0,-1)构建screen space，就可以省去screen space ->world space的转换
                Vector3f dir = Vector3f(x, y, -1); // Don't forget to normalize this direction!
                dir = normalize(dir);
                framebuffer[m++] = castRay(eye_pos, dir, scene, 0);
            }
            UpdateProgress(j / (float)scene.height);
        }
    
        // save framebuffer to file
        FILE* fp = fopen("binary.ppm", "wb");
        (void)fprintf(fp, "P6\n%d %d\n255\n", scene.width, scene.height);
        for (auto i = 0; i < scene.height * scene.width; ++i) {
            static unsigned char color[3];
            color[0] = (char)(255 * clamp(0, 1, framebuffer[i].x));
            color[1] = (char)(255 * clamp(0, 1, framebuffer[i].y));
            color[2] = (char)(255 * clamp(0, 1, framebuffer[i].z));
            fwrite(color, 1, 3, fp);
        }
        fclose(fp);    
    }

## 2 射线交互 ##

这个交互就是games101作业5框架里的castRay()函数，可以放在第4步一起说。

## 3 获得相交对象的属性 ##

### 光线与球求交&光线与面求交 ###

这部分主要是trace()&getSurfaceProperties()两个函数在实现。

**trace() —— 进行射线求交计算；**

**getSurfaceProperties() —— 获得物体表面属性。**

这里的intersect()是在Sphere.hpp里定义的一个bool函数，可以结合其来一起看。

![cdf016ea4b5c4753bdfb829f36daa81b.png][]

可以看到主要是根据课上讲的来写的步骤：

![1e6d88b61be54ee1bc23da5381cc46f2.png][]

![1cff3a16277d439eab357482912123c7.png][]

#### sphere.hpp求交 ####

//判断ray与物体表面是否相交，输入光源点-orig，入射ray方向-dir，tnear-深度值
        //线与圆求交
        bool intersect(const Vector3f& orig, const Vector3f& dir, float& tnear, uint32_t&, Vector2f&) const override
        {
            // analytic solution
            Vector3f L = orig - center;
            float a = dotProduct(dir, dir);
            float b = 2 * dotProduct(dir, L);
            float c = dotProduct(L, L) - radius2;
            float t0, t1;
            //!solve ，如果return true则if不成立；false则成立，return false
            if (!solveQuadratic(a, b, c, t0, t1)) //global.hpp定义的函数，用于判断是否有根
                return false;
            if (t0 < 0)
                t0 = t1;
            if (t0 < 0)//t0被赋值成ti后再判断一次，如果两个解都＜0，则交点是无效的
                return false;
            tnear = t0;//tnear=有效解的最小值
    
            return true;
        }

#### global.hpp求根函数 ####

inline bool solveQuadratic(const float& a, const float& b, const float& c, float& x0, float& x1)
    {
        float discr = b * b - 4 * a * c;
        if (discr < 0)
            return false;
        else if (discr == 0)
            x0 = x1 = -0.5 * b / a;//一个根
        else
        {
            float q = (b > 0) ? -0.5 * (b + sqrt(discr)) : -0.5 * (b - sqrt(discr));
            x0 = q / a;
            x1 = c / q;
        }
        if (x0 > x1)
            std::swap(x0, x1);//根一大一小，取最近的点，因此要swap位置保证x0也就是t0是最小的
        return true;
    }

#### 回到trace()求交 ####

std::optional<hit_payload> trace( //hit_payload是Renderer.hpp中定义的一个struct
            const Vector3f &orig, const Vector3f &dir,
            const std::vector<std::unique_ptr<Object> > &objects)
    {
        float tNear = kInfinity;// kInfinity是global头文件定义的，返回float型数的最大值
        std::optional<hit_payload> payload;
        //遍历
        for (const auto & object : objects)
        {
            float tNearK = kInfinity;
            uint32_t indexK;
            Vector2f uvK;
            //tNear是经过遍历后目前这条光线遇见物体交点最近的位置
            //如果当前计算的tNearK>tNear,说明当前的object被挡住了
            //所以就算与光线有焦点也不需要进行储存
            if (object->intersect(orig, dir, tNearK, indexK, uvK) && tNearK < tNear)
            {
                payload.emplace();
                payload->hit_obj = object.get(); //hit_obj做的操作会反应在智能指针object指向的对象上
                payload->tNear = tNearK;//tnearK=最近一点的根
                payload->index = indexK;//
                payload->uv = uvK;
                tNear = tNearK;//上面的只是改变了payload的tNear，这里赋值的是trace的tNear，用于进行下一个object的tNear<tNear判断
            }
        }
    
        return payload;
    }

代码里总是出现的**payload**，payload（有效载荷）在代码世界里通俗一点讲代表着对有用的数据，当然这只是一个解释这个词的意思，帮助我们更好地理解当一个变量叫这个名字时它大概能代表的意思。

std::optional<hit_payload> trace(
            const Vector3f &orig, const Vector3f &dir,
            const std::vector<std::unique_ptr<Object> > &objects)
    {
        ...
        std::optional<hit_payload> payload;
        ...
        return payload;
    }

可以看到在代码里是在optional里面嵌套的另一个optional，返回值也是一个optional，那么问题来了，什么是optional？

#### std::optional ####

写代码时，有时候想要返回某种类型的对象，也就是说，我们可以有某个类型的值，也可以没有任何值。需要有一种方法来模拟类似指针的定义。c++17给出了**std::optional<>**来定义这样的对象， 只是包含对象的内部内存**加上一个布尔标志，可以在条件语句里充当判断作用，比如这里的payload，如果光线与场景中物体没有交点，就直接返回fl**

std::optional<>的成员函数有：（以定义的payload为例），还有一些其他的操作没写全

<table> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td colspan="2">Member Function</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>cosstructor</td> 
   <td>构造一个optional对象</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>destructor</td> 
   <td>销毁一个optional对象</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>=</td> 
   <td>分配新值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>-&gt; 、*</td> 
   <td>访问值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>value()</td> 
   <td> <p>payload.value()</p> <p>访问值，如果有则返回，如果没有提交异常</p> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>value_or()</td> 
   <td> <p>payload.value_or()</p> <p>访问值，如果有则返回如果没有返回给到的值</p> </td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>swap()</td> 
   <td>交换值</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>emplace()</td> 
   <td>payload.emplace() 分配一个()里的新值</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

参考：[std::optional - cppreference.com][std_optional - cppreference.com]

最后，关于具体的求交计算[光线跟踪的几种常见求交运算\_0小龙虾0的博客-CSDN博客\_求交运算][0_0_-CSDN]写的非常清晰，可以参考。

## 4 递归光线跟踪 ##

根据物体的材质属性的反射/折射情况，可以将着色方法分为以下几种：

**（1）reflective mirror类型的**

**（2）transparent 透明的**

**（3）diffuse/glossy 具有漫反射特性且表面是光滑不透明的**

![f59d65f4c0ce4f5198db3f1b9493c684.png][]

下面对每个情况如何实现光线追踪进行详细的阐述

### reflective 表面材质类似**mirror** ###

在相交处发射出一条反射光线就行（跟踪一条反射的射线）。这个反射的射线方向可以通过反射定律得到，即“**三线共面，两线分居，两角相等**”。

#### 反射光线方向 ####

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![I=A+B][I_A_B]

![R=A-B=I-2B][R_A-B_I-2B]

其中，向量B是入射光线![I][]在法线方向![N][]的负方向上的投影：(**注意这里的向量都是单位向量**)

![B=cos\\theta \*N][B_cos_theta _N]

![R=I-2cos\\theta \*N=I-2(N\\cdot I)\*N][R_I-2cos_theta _N_I-2_N_cdot I_N]

#### 考虑误差-偏移值epsilon ####

参考自：[Whitted光线追踪实现\_0小龙虾0的博客-CSDN博客][Whitted_0_0]

因为计算机精度的问题，直接使用起点产生噪声值，如下图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

由于精度损失，通过计算得到的相交点坐标往往不会正中理论上的点位置，而是会向外或者向内一点点，为了解决这个问题采用一个小小的偏移值epsilon来解决这个问题（体现在后续代码上）

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

#### Renderer.cpp->reflect() ####

// Compute reflection direction
    Vector3f reflect(const Vector3f &I, const Vector3f &N)
    {
        return I - 2 * dotProduct(I, N) * N;
    }

#### Renderer.cpp->castRay()->case REFLECTION ####

...
                //mirror
                case REFLECTION:
                {
                    //菲涅耳定律->得到反射光线占比kr
                    float kr = fresnel(dir, N, payload->hit_obj->ior);
                    //计算反射射线方向
                    Vector3f reflectionDirection = reflect(dir, N);
                    //由于计算问题会出现误差，如果点在面内就向N方向偏移；如果点在面外就向-N方向偏移
                    Vector3f reflectionRayOrig = (dotProduct(reflectionDirection, N) < 0) ?
                                                 hitPoint + N * scene.epsilon ://epsilon是定义的一个浮点数的bias,epsilon=0.00001
                                                 hitPoint - N * scene.epsilon;
                    //接着递归使用castRay()把计算的反射起点Orig和方向Dir带入，并*反射光线占比kr，继续跟踪折射和反射射线
                    //这里的depth+1意思是发生了一次反射，有最大次数限制->maxDepth
                    hitColor = castRay(reflectionRayOrig, reflectionDirection, scene, depth + 1) * kr;
                    break;
                }
    ...

### transparent **透明** ###

*  在相交处发射两条射线：一条反射射线；一条折射射线。反射射线方向由上面的反射定律得到，折射射线方向由**斯奈尔定理（**Snell’s Law）通过推导得到。

#### 折射光线方向 ####

这里要用到Snell's laws斯内尔定律

![\\frac\{sin\\theta \_\{1\}\}\{sin\\theta \_\{2\}\}=\\frac\{\\eta \_\{2\}\}\{\\eta \_\{1\}\}][frac_sin_theta _1_sin_theta _2_frac_eta _2_eta _1]

——表示入射角和折射角与二者介质的折射率的关系

根据入射光线向量![I][]和法向量![N][]推导折射光线向量![T][]。

推导过程可以看参考的两篇文章，得到的折射向量![T][]的公式为

![T=\\eta \\left ( I+c\_\{1\}N \\right )-Nc\_\{2\}][T_eta _left _ I_c_1_N _right _-Nc_2]

其中，

![\\eta=\\frac\{\\eta \_\{1\}\}\{\\eta \_\{ 2\}\}][eta_frac_eta _1_eta _ 2]

![c\_\{1\}=N\\cdot I][c_1_N_cdot I]

![c\_\{2\}=\\sqrt\{1-\\eta ^\{2\}\\left ( 1-c\_\{1\}^\{2\} \\right )\}][c_2_sqrt_1-_eta _2_left _ 1-c_1_2_ _right]

参考：

[折射向量的推导\_\_gamer的博客-CSDN博客][gamer_-CSDN]

[折射向量推导 - 知乎][-]

#### Renderer.cpp->refract() ####

//计算折射向量
    Vector3f refract(const Vector3f &I, const Vector3f &N, const float &ior)
    {
        //dotProduct点积（来自vector.hpp定义的
        //clamp是个区间限定函数，在这里其实就是把cosi的值限定在了[-1,1]之间
        float cosi = clamp(-1, 1, dotProduct(I, N));
        float etai = 1, etat = ior;//1为空气折射率，ior为介质的折射率
        Vector3f n = N;
        //如果入射光从介质1(etai)->介质2(etat)，则夹角>90°；
        //如果入射光从介质2->介质1，则夹角<90,N也要反过来，折射率之比也需要换一下
        if (cosi < 0) { cosi = -cosi; } else { std::swap(etai, etat); n= -N; }
        float eta = etai / etat;
        float k = 1 - eta * eta * (1 - cosi * cosi);
        return k < 0 ? 0 : eta * I + (eta * cosi - sqrtf(k)) * n;//sqrtf返回float的平方根
    }

#### Renderer.cpp->castRay()->case REFLECTION\_AND\_REFRACTION ####

...
               //透明
                case REFLECTION_AND_REFRACTION:
                {
                    //反射方向
                    Vector3f reflectionDirection = normalize(reflect(dir, N));
                    //折射方向
                    Vector3f refractionDirection = normalize(refract(dir, N, payload->hit_obj->ior));
                    //由于计算问题会出现误差，如果点在面内就向N方向偏移；如果点在面外就向-N方向偏移
                    //epsilon是定义的一个浮点数的bias,epsilon=0.00001
                    Vector3f reflectionRayOrig = (dotProduct(reflectionDirection, N) < 0) ?
                                                 hitPoint - N * scene.epsilon :
                                                 hitPoint + N * scene.epsilon;
                    Vector3f refractionRayOrig = (dotProduct(refractionDirection, N) < 0) ?
                                                 hitPoint - N * scene.epsilon :
                                                 hitPoint + N * scene.epsilon;
                    //两条光线射线又开始作为入射光线，递归使用castRay()追踪
                    //这里的depth+1意思是发生了一次反射，有最大次数限制->maxDepth
                    Vector3f reflectionColor = castRay(reflectionRayOrig, reflectionDirection, scene, depth + 1);
                    Vector3f refractionColor = castRay(refractionRayOrig, refractionDirection, scene, depth + 1);
                    //计算反射光线占比
                    float kr = fresnel(dir, N, payload->hit_obj->ior);
                    //计算着色值
                    hitColor = reflectionColor * kr + refractionColor * (1 - kr);
                    break;
                }
    ...

*  还需要确定**反射和折射光线的占比，**这里就用到了**菲涅尔反射定律**（**Fresnel Reflection）**

#### 菲涅尔效应 ####

简单来说，离表面越近看到更多的折射光（视线与表面接近垂直），越远则看到更多的反射光（视线与表面几乎平行），学过高中物理或者大物的都有印象，其实就是光线反射与折射。通俗一点讲：**入射角越大，反射的光越多**。而用Unity手册里的菲涅尔效应的解释来说，“**现实世界中物体的一个重要视觉提示与它们在掠射角下如何变得更具反射性有关**”，这就是菲涅尔效应。

![50c66d20eff942b3a78fe9c9f4c1d23f.png][]

从图（来自Unity手册）可以看出，随着物体材质变得光滑，观察者掠射角可见的菲涅尔效应更加明显。

![4da45fc9af9aa3f4243d4d775d6783c5.png][]

那么到底是反射光更强还是折射光更强，需要比较辐射度量学里**Radiance**（在games101ray tracing3有讲）的大小。渲染时需要考虑这一点进去，渲染出来的才会更加真实，这就需要一个公式，描述不同入射光下反射光与折射光所占比例，这就是**菲涅尔方程**。

#### 菲涅尔方程 ####

借用参考资料的描述：

当光线碰撞到一个表面的时候，**菲涅尔方程会根据观察角度告诉我们被反射的光线所占的百分比**。利用这个反射比率和能量守恒原则，我们可以直接得出光线被折射的部分以及光线剩余的能量。将其应用在**BRDF**当中，我们就可以更加精准的计算出渲染方程中**![L\_\{0\}(p,\\omega \_\{0\})][L_0_p_omega _0]**的值。

具体推导可以看我列出的参考文章，这里直接列出菲涅尔方程的表达式：

![R=\\frac\{R\_\{s\}+R\_\{p\}\}\{2\}][R_frac_R_s_R_p_2]

其中：

![R\_\{s\}=\\left |\\frac\{ \\eta \_\{1\}cos\\theta \_\{i\}-\\eta \_\{2\}cos\\theta \_\{t\}\}\{ \\eta \_\{1\}cos\\theta \_\{i\}+\\eta \_\{2\}cos\\theta \_\{t\}\} \\right |^\{2\}][R_s_left _frac_ _eta _1_cos_theta _i_-_eta _2_cos_theta _t_ _eta _1_cos_theta _i_eta _2_cos_theta _t_ _right _2]

![R\_\{p\}=\\left |\\frac\{ \\eta \_\{1\}cos\\theta \_\{t\}-\\eta \_\{2\}cos\\theta \_\{i\}\}\{ \\eta \_\{1\}cos\\theta \_\{t\}+\\eta \_\{2\}cos\\theta \_\{i\}\} \\right |^\{2\}][R_p_left _frac_ _eta _1_cos_theta _t_-_eta _2_cos_theta _i_ _eta _1_cos_theta _t_eta _2_cos_theta _i_ _right _2]

![\\theta \_\{i\}][theta _i]——入射光与法线的夹角 ，![\\theta \_\{t\}][theta _t]——折射光与法线的夹角，![\\eta \_\{i\}][eta _i]——入射介质折射率，![\\eta \_\{t\}][eta _t]——折射介质折射率。

#### Special Case 特殊情况 ####

题目中给的Special cases —— **Total internal reflection**

当在**密度较高的介质中传播的光撞击密度较低的介质**（即**![\\eta \_\{1\}][eta _1]>![\\eta \_\{2\}][eta _2]**）的表面时，超过称为临界角的特定入射*角*，**所有光都被反射**并且![R\_\{s\}=R\_\{p\}=1][R_s_R_p_1] 。这种现象被称为[全内反射][Link 1]，发生在入射角处。**斯内尔定律**预测**折射角![\\theta \_\{t\}][theta _t]**的正弦将exceed unity（而实际上，for all *real ![\\theta][theta] ,*![sin\\theta \\leq 1][sin_theta _leq 1]）。因此就有了后面定义的：

if (sint >= 1) {
            return 1;
    }

特殊情况其实还有：

Normal incidence —— ![\\theta \_\{i\}=\\theta\_\{t\}=0][theta _i_theta_t_0]，![R\_\{S\}][R_S]和![R\_\{p\}][R_p]没区别

Brewster's angle

参考：

[菲涅耳效应 - Unity 手册][- Unity]

[菲涅尔方程（Fresnel Equation） - 知乎 (zhihu.com)][Fresnel Equation_ - _ _zhihu.com]

[Fresnel equations - Wikipedia][]

#### Renderer.cpp->fresnel() ####

//计算菲涅尔方程
    float fresnel(const Vector3f &I, const Vector3f &N, const float &ior)
    {
        float cosi = clamp(-1, 1, dotProduct(I, N));
        float etai = 1, etat = ior;
        if (cosi > 0) {  std::swap(etai, etat); }
        // Compute sini using Snell's law 即：sin比等于折射率反比
        float sint = etai / etat * sqrtf(std::max(0.f, 1 - cosi * cosi));
        // Total internal reflection，全反射
        if (sint >= 1) {
            return 1;
        }
        else {
            //cos²+sin²=1
            float cost = sqrtf(std::max(0.f, 1 - sint * sint));
            cosi = fabsf(cosi);
            float Rs = ((etat * cosi) - (etai * cost)) / ((etat * cosi) + (etai * cost));
            float Rp = ((etai * cosi) - (etat * cost)) / ((etai * cosi) + (etat * cost));
            return (Rs * Rs + Rp * Rp) / 2;
        }
        // As a consequence of the conservation of energy, transmittance is given by:
        // kt = 1 - kr;
        //意思->由能量守恒，透光率的值为：kt=1-kr
        //光穿透物体表面会发生：折射refraction、次表面散射subsurface和半透明透射transmission
        //kt-transmission , kr-refraction ,这里似乎没考虑ks
        //次表面散射一般发生在半透明材质：皮肤、玉、蜡、大理石、牛奶等
    }

### diffuse/glossy **具有漫反射特性且表面不透明** ###

1.  用Phong-shading模型来计算相交对象的颜色；
2.  同时还需要判断场景中的点是否在阴影中，需要从相交对象向场景中的光源投射一个**阴影射线**（**shadow ray**）来判断这个相交对象是否在阴影中
3.  经典的whited-style光线追踪遇到漫反射表面**会直接利用blinn-phong模型计算颜色值返回**，而**不再递归下去**。

#### Renderer.cpp->castRay()->default: ####

...
                default:
                {
                    //进行phong模型
                    //lightAmt - 环境光
                    //specularcolor代表三个通道内高光的分量
                    Vector3f lightAmt = 0, specularColor = 0;
                    //进行一个矫正
                    Vector3f shadowPointOrig = (dotProduct(dir, N) < 0) ?
                                               hitPoint + N * scene.epsilon :
                                               hitPoint - N * scene.epsilon;
                    // [comment]
                    // Loop over all lights in the scene and sum their contribution up
                    // We also apply the lambert cosine law-这个定理就是那个cos<l,n>的由来
                    // [/comment]
                    // Phong光照模型
                    //遍历场景中所有的光源点
                    //Light(const Vector3f& p, const Vector3f& i) position & intensity(I/r²)
                    for (auto& light : scene.get_lights()) {
                        Vector3f lightDir = light->position - hitPoint;
                        // square of the distance between hitPoint and the light
                        float lightDistance2 = dotProduct(lightDir, lightDir);
                        lightDir = normalize(lightDir);
                        float LdotN = std::max(0.f, dotProduct(lightDir, N));
    
                        //shadow ray - 环境光
                        // 一条shadow ray从hitpoint出发，以lightdir为方向，如果shadow_res=true ->说明被遮挡了
                        auto shadow_res = trace(shadowPointOrig, lightDir, scene.get_objects());
                        // 如果返回的tnear<lightdistance -> shadow ray被路径上的某一个表面遮挡了，到达不了light，因此说明hitpoint在这条ray的阴影里
                        bool inShadow = shadow_res && (shadow_res->tNear * shadow_res->tNear < lightDistance2);
                        //hitpoint在阴影里->inshadow=true->lightAmt=0(无环境光)
                        //hitpoint不在阴影里->inshaow=false->lightAmt+=I/r²*max(0, cos<l,n>)
                        lightAmt += inShadow ? 0 : light->intensity * LdotN;
                        //这里求反射ray方向，用到reflect(),仔细看这个函数里的lightdir定义的是从光源出发，因此这里lightDir要取-lightDir
                        //得到反射ray方向为后面求高光做准备
                        Vector3f reflectionDirection = reflect(-lightDir, N);
    
                        //高光 v无限接近r ->  dir就是v ; reflectiondirection就是r 这里可以参考之前老师讲phong模型的式子
                        specularColor += powf(std::max(0.f, -dotProduct(reflectionDirection, dir)),
                            payload->hit_obj->specularExponent) * light->intensity;
                    }
                    //diffusecolor - 三个通道内光线的diffuse分量，是vector3f类型
                    // kd ks 是 float类型
                    //hitColor = lightAmt*diffusecolor*kd+specularcolor*ks
                    hitColor = lightAmt * payload->hit_obj->evalDiffuseColor(st) * payload->hit_obj->Kd + specularColor * payload->hit_obj->Ks;
                    break;
                }
            }
        }
    
        return hitColor;//如果以上if没成立，则无交点，返回背景色
    }
    ...

## 结果展示 ##

![3974be0f3f234795b9df3237c06e8f73.png][]

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[Whitted_0_0]: https://blog.csdn.net/qq_39300235/article/details/105520960
[Ray Tracing in One Weekend]: https://raytracing.github.io/books/RayTracingInOneWeekend.html#rays,asimplecamera,andbackground/sendingraysintothescene
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[659b990bb5934921867284664f1d745a.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/659b990bb5934921867284664f1d745a.png
[left _ -1_1 _right _2]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cleft%20%5B%20-1%2C1%20%5Cright%20%5D%5E%7B2%7D
[left _ 0_ImageWidth _right _times _left _ 0_ImageHeight _right]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cleft%20%5B%200%2CImageWidth%20%5Cright%20%5D%5Ctimes%20%5Cleft%20%5B%200%2CImageHeight%20%5Cright%20%5D
[PixelNDC_x_frac_Pixel_x_0.5_ImageWidth]: https://latex.csdn.net/eq?PixelNDC_%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B%28Pixel_%7Bx%7D&plus;0.5%29%7D%7BImageWidth%7D
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[I]: https://latex.csdn.net/eq?I
[N]: https://latex.csdn.net/eq?N
[B_cos_theta _N]: https://latex.csdn.net/eq?B%3Dcos%5Ctheta%20*N
[R_I-2cos_theta _N_I-2_N_cdot I_N]: https://latex.csdn.net/eq?R%3DI-2cos%5Ctheta%20*N%3DI-2%28N%5Ccdot%20I%29*N
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200420204127966.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MzAwMjM1,size_16,color_FFFFFF,t_70
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[frac_sin_theta _1_sin_theta _2_frac_eta _2_eta _1]: https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7Bsin%5Ctheta%20_%7B1%7D%7D%7Bsin%5Ctheta%20_%7B2%7D%7D%3D%5Cfrac%7B%5Ceta%20_%7B2%7D%7D%7B%5Ceta%20_%7B1%7D%7D
[T]: https://latex.csdn.net/eq?T
[T_eta _left _ I_c_1_N _right _-Nc_2]: https://latex.csdn.net/eq?T%3D%5Ceta%20%5Cleft%20%28%20I&plus;c_%7B1%7DN%20%5Cright%20%29-Nc_%7B2%7D
[eta_frac_eta _1_eta _ 2]: https://latex.csdn.net/eq?%5Ceta%3D%5Cfrac%7B%5Ceta%20_%7B1%7D%7D%7B%5Ceta%20_%7B%202%7D%7D
[c_1_N_cdot I]: https://latex.csdn.net/eq?c_%7B1%7D%3DN%5Ccdot%20I
[c_2_sqrt_1-_eta _2_left _ 1-c_1_2_ _right]: https://latex.csdn.net/eq?c_%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B1-%5Ceta%20%5E%7B2%7D%5Cleft%20%28%201-c_%7B1%7D%5E%7B2%7D%20%5Cright%20%29%7D
[gamer_-CSDN]: https://blog.csdn.net/MASILEJFOAISEGJIAE/article/details/104435265/
[-]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/366839198
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[Link 1]: https://en.wikipedia.org/wiki/Total_internal_reflection
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[Fresnel Equation_ - _ _zhihu.com]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/375746359
[Fresnel equations - Wikipedia]: https://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_equations
[3974be0f3f234795b9df3237c06e8f73.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/3974be0f3f234795b9df3237c06e8f73.png