蓝桥算法两周训练营--Day2：DP

青旅半醒 2023-09-27 14:12 100阅读 0赞

### T1：[P1048 \[NOIP2005 普及组\] 采药 - 洛谷][P1048 _NOIP2005 _ _ -] ###

#### 代码： ####

#### 1、二维Dp： ####

package 蓝桥算法两周训练营__普及组.Day2_dp;
    
    import java.util.Scanner;
    
    /**
     * @author yx
     * @date 2023-02-05 13:16
     */
    public class t1 {
        //    P1048 [NOIP2005 普及组] 采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
        public static void main(String[] args) {
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            int T=scanner.nextInt();
            int M=scanner.nextInt();
            int[] values=new int[M+1];
            int[] times=new int[M+1];
            for (int i = 1; i <= M; i++) {
                times[i]=scanner.nextInt();
                values[i]=scanner.nextInt();
            }
            int[][] dp=new int[T+1][M+1];
            for (int i = 1; i <= T ; i++) {
                for (int j = 1; j <= M ; j++) {
                    if(i<times[j]){
                        //不采第j个草药
                        dp[i][j]=dp[i][j-1];
                    }else {
                        //可以不采第j个草药，也可以采，选择最大价值的方案
                        dp[i][j]=Math.max(dp[i][j-1],dp[i-times[j]][j-1]+values[j]);
                    }
                }
            }
            System.out.println(dp[T][M]);
        }
    }

#### 分析1： ####

> 时间T其实对应于背包问题中的总体积T，M对应于物品个数
> 
> 思路：
> 
> 1、先依次遍历从背包容量为i（1<=i<=T）开始
> 
> 2、在不超过背包容量i的前提基础上(i>=times\[j\])，尽可能地往背包里塞东西
> 
> 3、如何判断是否要装入物品j呢？我们可以判断不装物品j（dp\[i\]\[j-1\]）与装入物品j（dp\[i-times\[j\]\[j-1\]\]+values\[j\]）进行比较，取最优的解

#### 2、一维Dp： ####

package 蓝桥算法两周训练营__普及组.Day2_dp;
    
    import java.util.Scanner;
    
    /**
     * @author yx
     * @date 2023-02-06 16:39
     */
    public class t1_01背包_一维 {
        public static void main(String[] args) {
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            int T=scanner.nextInt();
            int M=scanner.nextInt();
            //背包总容量T
            int[] dp=new int[T+1];
            int[] times=new int[M+1];
            int[] values=new int[M+1];
            //背包的体积和价值
            for (int i = 1; i <= M; i++) {
                times[i]=scanner.nextInt();
                values[i]=scanner.nextInt();
            }
            //先遍历每一件物品i(1<=i<=M)
            for (int i = 1; i <=M ; i++) {
                //对背包容量进行遍历，从最大的容量T开始，一直往下到times[i]
                // 即再--的话，j<times[i]就不能装下物品i了
                for (int j = T; j >= times[i] ; j--) {//逆序遍历
                    dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-times[i]]+values[i]);
                }
            }
            System.out.println(dp[T]);
        }
    }

#### 分析2： ####

> 让我假设现在的背包的容量是 C=10；
> 
> 物品编号：1 2 31 2 3
> 
> 物品重量：5 6 45 6 4
> 
> 物品价值：20 10 1220 10 12
> 
> --------------------
> 
> 直接分析dp数组：
> 
> `dp：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0`
> 
>     i=1:
>     dp[10] = max(dp[5]+20, dp[10]);
>     dp[9] = max(dp[4]+20, dp[9]);
>     dp[8] = max(dp[3]+20, dp[8]);
>     dp[7] = max(dp[2]+20, dp[7]);
>     dp[6] = max(dp[1]+20, dp[6]);
>     dp[5] = max(dp[0]+20, dp[5]);
> 
> `dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20`
> 
>     i=2:
>     dp[10] = max(dp[6]+4, dp[10]);
>     dp[9] = max(dp[3]+10, dp[9]);
>     dp[8] = max(dp[2]+10, dp[8]);
>     dp[7] = max(dp[1]+10, dp[7]);
>     dp[6] = max(dp[0]+10, dp[6]);
> 
> `dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20 //看到了没，选10的都被之前的20压下去了`
> 
>     i=3:
>     dp[10] = max(dp[6]+12, dp[10]);
>     dp[9] = max(dp[5]+12, dp[9]);
>     dp[8] = max(dp[4]+12, dp[8]);
>     dp[7] = max(dp[3]+12, dp[7]);
>     dp[6] = max(dp[2]+12, dp[6]);
>     dp[5] = max(dp[1]+12, dp[5]);
>     dp[4] = max(dp[0]+12, dp[4]);
> 
> `dp: 0 0 0 12 20 20 20 20 32 32`
> 
> dp\[10\] 就是背包容量为 10 的时候的最大价值，就是要求的值了，可以看到，容量大的时候的值取决于容量小的时候的值，从而不断被正确更新，所以用一维 dp 的时候，j 的循环必须是从大到小逆序开始的，逆序，就防止了一个物品放入多次！！！否则...........

![e4a5e7fc15fe4ff2a014da86d906f185.png][]

### T2：[P1616 疯狂的采药 - 洛谷][P1616 _ -] ###

#### 代码： ####

package 蓝桥算法两周训练营__普及组.Day2_dp;
    
    import java.util.Scanner;
    
    /**
     * @author yx
     * @date 2023-02-05 13:16
     */
    public class t2_完全背包 {
    //    P1616 疯狂的采药 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
        public static void main(String[] args) {
            Scanner scanner = new Scanner(System.in);
            int T=scanner.nextInt();
            int M=scanner.nextInt();
            int[] times=new int[M+1];
            int[] values=new int[M+1];
            //十年IO一场空，不开long long 见祖宗
            long[] dp=new long[T+1];
            for (int i = 1; i <= M; i++) {
                times[i]=scanner.nextInt();
                values[i]=scanner.nextInt();
            }
            for (int i = 1; i <= M; i++) {
                //从times[i]开始可以一直加同一种物品，直到时间的最大限制（即体积的最大容量）
                for (int j = times[i]; j <= T ; j++) {
                    //先把背包装满,再依次迭代最优解
                    dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-times[i]]+values[i]);
                }
            }
            System.out.println(dp[T]);
        }
    }

#### 分析： ####

> 递推式： ![c6ce7f3f898a4829bc8b842edb494dd9.png][]
> 
> 思想：先把背包尽可能装满，再依次迭代最优解
> 
>     首先dp数组初始化全为0：给定物品种类有4种，包最大体积为5，数据来源于题目的输入
>     v[1] = 1, w[1] = 2
>     v[2] = 2, w[2] = 4
>     v[3] = 3, w[3] = 4
>     v[4] = 4, w[4] = 5
>     
>     i = 1 时： j从v[1]到5
>     dp[1] = max(dp[1],dp[0]+w[1]) = w[1] = 2 (用了一件物品1）
>     dp[2] = max(dp[2],dp[1]+w[1]) = w[1] + w[1] = 4（用了两件物品1）
>     dp[3] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] = 6（用了三件物品1）
>     dp[4] = max(dp[4],dp[3]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 8（用了四件物品1）
>     dp[5] = max(dp[3],dp[2]+w[1]) = w[1] + w[1] + w[1] + w[1] + w[1] = 10（用了五件物品）
>     
>     i = 2 时：j从v[2]到5
>     dp[2] = max(dp[2],dp[0]+w[2]) = w[1] + w[1] = w[2] =  4（用了两件物品1或者一件物品2）
>     dp[3] = max(dp[3],dp[1]+w[2]) = 3 * w[1] = w[1] + w[2] =  6（用了三件物品1，或者一件物品1和一件物品2）
>     dp[4] = max(dp[4],dp[2]+w[2]) = 4 * w[1] = dp[2] + w[2] =  8（用了四件物品1或者，两件物品1和一件物品2或两件物品2）
>     dp[5] = max(dp[5],dp[3]+w[2]) = 5 * w[1] = dp[3] + w[2] =  10（用了五件物品1或者，三件物品1和一件物品2或一件物品1和两件物品2）
>     
>     i = 3时：j从v[3]到5
>     dp[3] = max(dp[3],dp[0]+w[3]) = dp[3] = 6 # 保持第二轮的状态 
>     dp[4] = max(dp[4],dp[1]+w[3]) = dp[4] = 8 # 保持第二轮的状态 
>     dp[5] = max(dp[5],dp[2]+w[3]) = dp[4] = 10 # 保持第二轮的状态
>     
>     i = 4时：j从v[4]到5
>     dp[4] = max(dp[4],dp[0]+w[4]) = dp[4] = 10 # 保持第三轮的状态
>     dp[5] = max(dp[5],dp[1]+w[4]) = dp[5] = 10 # 保持第三轮的状态

![79b31d35bc0b413fad5a80836a77c7c1.png][]

### 总结： ###

> 一维01背包：
> 
> 从最大容量T开始到第i件物品容量times\[i\]，逆序遍历，没有重复，是01背包
> 
> ![fac7833fddae46e3a5c232f7c3bea9aa.png][]
> 
> 一维完全背包：
> 
> 从第i件物品容量times\[i\]开始到最大容量T，正序遍历，有重复，是完全背包
> 
> ![3f2ae23b6b664ee49812f12a15e28601.png][]

### 课后习题 ###

> T3：[1015. 摘花生 - AcWing题库][1015. _ - AcWing]
> 
> T4：[P1077 \[NOIP2012 普及组\] 摆花 - 洛谷][P1077 _NOIP2012 _ _ -]

[P1048 _NOIP2005 _ _ -]: https://www.luogu.com.cn/problem/P1048
[e4a5e7fc15fe4ff2a014da86d906f185.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/e4a5e7fc15fe4ff2a014da86d906f185.png
[P1616 _ -]: https://www.luogu.com.cn/problem/P1616
[c6ce7f3f898a4829bc8b842edb494dd9.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/c6ce7f3f898a4829bc8b842edb494dd9.png
[79b31d35bc0b413fad5a80836a77c7c1.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/79b31d35bc0b413fad5a80836a77c7c1.png
[fac7833fddae46e3a5c232f7c3bea9aa.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/fac7833fddae46e3a5c232f7c3bea9aa.png
[3f2ae23b6b664ee49812f12a15e28601.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/3f2ae23b6b664ee49812f12a15e28601.png
[1015. _ - AcWing]: https://www.acwing.com/problem/content/1017/
[P1077 _NOIP2012 _ _ -]: https://www.luogu.com.cn/problem/P1077