IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理

野性酷女 2023-09-26 14:31 72阅读 0赞

正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示[三角形][Link 1]边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

### 正弦定理概述 ###

正弦定理 \[1\] (Sine theorem)

(1)已知三角形的两角与一边，[解三角形][Link 2]

(2)已知三角形的两边和其中一边所对的角，[解三角形][Link 2]

(3)运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的[正弦][Link 3]。 \[1\]

### 证明 ###

步骤1

在[锐角][Link 4]△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到

[![IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理\_离散数学\_03][IT_03]][IT_03_IT_03]

图1正弦同理，在△ABC中，

步骤2.

证明

如图1，[任意三角形][Link 5]ABC,作ABC的[外接圆][Link 6]O.

作[直径][Link 7]BD交⊙O于D.

连接DA.

因为在同圆或[等圆][Link 8]中直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度

因为在同圆或[等圆][Link 8]中同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C.

所以

类似可证其余两个等式。

## 余弦定理解三角形 ##

**余弦定理**对解三角形是非常有用的：

这定理适用于任何三角形：

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td><img src="https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/261bdecc4b9c35721fd55e0d8e567e41.gif" alt="IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理_余弦定理解三角形_07" style="outline: none;"></td> 
 <td>a、b&nbsp;和&nbsp;c&nbsp;是三角形的边。C&nbsp;边 c 的对角</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

我们举个例来看看：

### 例子："c" 的长度是多少？ ###

###  ###

已知： C = 37º、a = 8 和 b = 11

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>余弦定理说：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= a2&nbsp;+ b2&nbsp;− 2ab cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>代入已知值：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= 82&nbsp;+ 112&nbsp;− 2 × 8 × 11 × cos(37º)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>计算：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= 64 + 121 − 176 × 0.798…</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>计算：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= 44.44...</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>开平方：</td> 
 <td></td> 
 <td>c = √44.44 =&nbsp;6.67&nbsp;保留两位小数</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

答案：c = 6.67

## 怎样记 ##

怎样去记这公式呢？

公式其实是在 [勾股定理][Link 9] 上多加一点，使其适用于所有的三角形：

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>勾股定理：</td> 
 <td></td> 
 <td>a2&nbsp;+ b2&nbsp;= c2</td> 
 <td></td> 
 <td>(只适用于直角三角形)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>余弦定理:</td> 
 <td></td> 
 <td>a2&nbsp;+ b2&nbsp;− 2ab cos(C)&nbsp;= c2</td> 
 <td></td> 
 <td>(适用于所有三角形)</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

这样记：

*  想英语字母 "**abc**"：**a**2 \+ **b**2 = **c**2,
 *  **再来一个** "**abc**"： **2ab** cos(**C**),
 *  放在一起：**a2 \+ b2 − 2ab cos(C) = c2**

## 什么时候用 ##

在以下的情形，我们可以用余弦定理：

*  已知三角形的两边和两边中间的夹角，求第三边(像上面的例子)
 *  已知三角形的三边，求其角度(如以下的例子)

### 例子：角 "C" 是多大？ ###

![IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理\_数学逻辑思维\_08][IT_08]

长度为 "8" 的边的对角是 C，所以这边是 c。另外两条边是 a 和 b。

把已知值代入余弦定理：:

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>开始：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= a2&nbsp;+ b2&nbsp;− 2ab cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>代入 a、b 和 c：</td> 
 <td></td> 
 <td>82&nbsp;= 92&nbsp;+ 52&nbsp;− 2 × 9 × 5 × cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>Calculate:</td> 
 <td></td> 
 <td>64 = 81 + 25&nbsp;− 90 × cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td colspan="3">重排及解:</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>每边减 25：</td> 
 <td></td> 
 <td>39 = 81&nbsp;− 90 × cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>每边减 81：</td> 
 <td></td> 
 <td>−42 =&nbsp;−90 × cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>两边对调：</td> 
 <td></td> 
 <td>−90 × cos(C) = −42</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>除以 −90：</td> 
 <td></td> 
 <td>cos(C) = 42/90</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>取逆余弦：</td> 
 <td></td> 
 <td>C = cos-1(42/90)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>用计算器：</td> 
 <td></td> 
 <td>C =&nbsp;62.2°&nbsp;(保留一位小数)</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 其他形式 ##

### 求角度的简易形式 ###

上面我们看到已知三边是怎样去求角度。我们用了几步来做，但其实用 "直接" 公式会比较简单(公式只不过是重排这公式： c2 = a2 \+ b2 − 2ab cos(C) )。公式可以有三个形式：

cos(C) = *a2 \+ b2 − c2***2ab**

cos(A) = *b2 \+ c2 − a2***2bc**

cos(B) = *c2 \+ a2 − b2***2ca**

### 例子：用余弦定理(角度形式)来求角 "C" ###

已知三边：

*  a = 8,
 *  b = 6 和
 *  c = 7。

用余弦定理(角度形式)来求角 C：

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>cos C&nbsp;</td> 
 <td>= (a2&nbsp;+ b2&nbsp;− c2)/2ab</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>= (82&nbsp;+ 62&nbsp;− 72)/2×8×6</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>= (64 + 36 − 49)/96</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>= 51/96</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>= 0.53125</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>C&nbsp;</td> 
 <td>= cos-1(0.53125)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td>=&nbsp;57.9°&nbsp;保留一位小数</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

### a、b 和 c 的形式 ###

你也可以重写 c2 = a2 \+ b2 \- 2ab cos(C) 公式为 "a2=" and "b2=" 的形式。

以下是这三个形式：

但最容易是记着 "**c2**=" 的形式，然后在应用时用不同的字母！

如下：

### 例子：求长度 "z" ###

![IT数学逻辑之正余弦定理指正弦定理和余弦定理\_保留两位小数\_09][IT_09]

字母不同！没关系。我们可以以 x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>开始：</td> 
 <td></td> 
 <td>c2&nbsp;= a2&nbsp;+ b2&nbsp;− 2ab cos(C)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>x 代替 a、y 代替 b 和 z 代替 c</td> 
 <td></td> 
 <td>z2&nbsp;= x2&nbsp;+ y2&nbsp;− 2xy cos(Z)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>代入已知值：</td> 
 <td></td> 
 <td>z2&nbsp;= 9.42&nbsp;+ 6.52&nbsp;− 2×9.4×6.5×cos(131º)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>计算：</td> 
 <td></td> 
 <td>z2&nbsp;= 88.36 + 42.25 − 122.2 × (−0.656...)</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td>z2&nbsp;= 130.61 + 80.17……</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td>z2&nbsp;= 210.78……</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td></td> 
 <td></td> 
 <td>z = √210.78…… =&nbsp;14.5&nbsp;保留一位小数。</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

答案：z = 14.5

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2/179552
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E8%A7%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%BC%A6
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E9%94%90%E8%A7%92
[IT_03]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/db530afaf5a1edd682f31e50cabb2b86.jpeg
[IT_03_IT_03]: https://baike.baidu.com/pic/%E6%AD%A3%E4%BD%99%E5%BC%A6%E5%AE%9A%E7%90%86/8209140/0/ae51f3deb48f8c54392b169f3a292df5e1fe7f82?fr=lemma&ct=single
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%96%E6%8E%A5%E5%9C%86
[Link 7]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B4%E5%BE%84
[Link 8]: https://baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E5%9C%86
[Link 9]: https://www.shuxuele.com/pythagoras.html
[IT_08]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/debfda4961ec5c2a1697bc34e7564370.gif
[IT_09]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/fbb5003ac7996b9f1dd995899cbffb04.gif