Top K问题【转载】

旧城等待， 2023-09-26 09:12 55阅读 0赞

面试中，TopK，是问得比较多的几个问题之一，到底有几种方法，这些方案里蕴含的优化思路究竟是怎么样的，今天和大家聊一聊。

画外音：除非校招，我在面试过程中从不问TopK这个问题，默认大家都知道。

**问题描述：**

从arr\[1, n\]这n个数中，找出最大的k个数，这就是经典的TopK问题。

**栗子：**

从arr\[1, 12\]=\{5,3,7,1,8,2,9,4,7,2,6,6\} 这n=12个数中，找出最大的k=5个。

**一、排序**

![在这里插入图片描述][ff6df26a1619438e9210bcee83f732bd.png]

排序是最容易想到的方法，将n个数排序之后，取出最大的k个，即为所得。

**伪代码**：

sort(arr, 1, n);

return arr\[1, k\];

**时间复杂度**：O(n\*lg(n))

**分析**：明明只需要TopK，却将全局都排序了，这也是这个方法复杂度非常高的原因。那能不能不全局排序，而只局部排序呢？这就引出了第二个优化方法。

**二、局部排序**

不再全局排序，只对最大的k个排序。  
![在这里插入图片描述][ee728d331ce1448fbf15edee66a6ffd0.png]

冒泡是一个很常见的排序方法，每冒一个泡，找出最大值，冒k个泡，就得到TopK。

**伪代码**：

for(i=1 to k)\{

bubble_find_max(arr,i);

return arr\[1, k\];

**时间复杂度**：O(n\*k)

**分析**：冒泡，将全局排序优化为了局部排序，非TopK的元素是不需要排序的，节省了计算资源。不少朋友会想到，需求是TopK，是不是这最大的k个元素也不需要排序呢？这就引出了第三个优化方法。

**三、堆**

**思路**：只找到TopK，不排序TopK。  
![在这里插入图片描述][3bf79fd3c9d94070b690e286ec153278.png]

先用前k个元素生成一个小顶堆，这个小顶堆用于存储，当前最大的k个元素。

![在这里插入图片描述][04f6eec19c2748c9b5e736e589c95abb.png]

接着，从第k+1个元素开始扫描，和堆顶（堆中最小的元素）比较，如果被扫描的元素大于堆顶，则替换堆顶的元素，并调整堆，以保证堆内的k个元素，总是当前最大的k个元素。

直到，扫描完所有n-k个元素，最终堆中的k个元素，就是猥琐求的TopK。

**伪代码**：

heap\[k\] = make\_heap(arr\[1, k\]);

for(i=k+1 to n)\{

adjust_heap(heep[k],arr[i]);

return heap\[k\];

**时间复杂度**：O(n\*lg(k))

画外音：n个元素扫一遍，假设运气很差，每次都入堆调整，调整时间复杂度为堆的高度，即lg(k)，故整体时间复杂度是n\*lg(k)。

**分析**：堆，将冒泡的TopK排序优化为了TopK不排序，节省了计算资源。堆，是求TopK的经典算法，那还有没有更快的方案呢？

**四、随机选择**

随机选择算在是《算法导论》中一个经典的算法，其时间复杂度为O(n)，是一个线性复杂度的方法。

这个方法并不是所有同学都知道，为了将算法讲透，先聊一些前序知识，一个所有程序员都应该烂熟于胸的经典算法：快速排序。

画外音：

（1）如果有朋友说，“不知道快速排序，也不妨碍我写业务代码呀”…额…

（2）除非校招，我在面试过程中从不问快速排序，默认所有工程师都知道；

**其伪代码是**：

void quick\_sort(int\[\]arr, int low, inthigh)\{

if(low== high) return;
    
         int i = partition(arr, low, high);
    
         quick_sort(arr, low, i-1);
    
         quick_sort(arr, i+1, high);

其核心算法思想是，分治法。

**分治法（Divide&Conquer）**，把一个大的问题，转化为若干个子问题（Divide），每个子问题“**都**”解决，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“都”。从伪代码里可以看到，快速排序递归时，先通过partition把数组分隔为两个部分，两个部分“都”要再次递归。

分治法有一个特例，叫减治法。

**减治法（Reduce&Conquer）**，把一个大的问题，转化为若干个子问题（Reduce），这些子问题中“**只**”解决一个，大的问题便随之解决（Conquer）。这里的关键词是“只”。

**二分查找binary\_search，BS**，是一个典型的运用减治法思想的算法，其伪代码是：

int BS(int\[\]arr, int low, inthigh, int target)\{

if(low> high) return -1;
    
         mid= (low+high)/2;
    
         if(arr[mid]== target) return mid;
    
         if(arr[mid]> target)
    
                   return BS(arr, low, mid-1, target);
    
         else
    
                   return BS(arr, mid+1, high, target);

从伪代码可以看到，二分查找，一个大的问题，可以用一个mid元素，分成左半区，右半区两个子问题。而左右两个子问题，只需要解决其中一个，递归一次，就能够解决二分查找全局的问题。

通过分治法与减治法的描述，可以发现，分治法的复杂度一般来说是大于减治法的：

快速排序：O(n\*lg(n))

二分查找：O(lg(n))

话题收回来，**快速排序**的核心是：

i = partition(arr, low, high);

**这个partition是干嘛的呢？**

顾名思义，partition会把整体分为两个部分。

更具体的，会用数组arr中的一个元素（默认是第一个元素t=arr\[low\]）为划分依据，将数据arr\[low, high\]划分成左右两个子数组：

*  左半部分，都比t大
 *  右半部分，都比t小
 *  中间位置i是划分元素

![在这里插入图片描述][13bf720da05e4924ac1d05565d9effc4.png]

以上述TopK的数组为例，先用第一个元素t=arr\[low\]为划分依据，扫描一遍数组，把数组分成了两个半区：

*  左半区比t大
 *  右半区比t小
 *  中间是t

partition返回的是t最终的位置i。

很容易知道，partition的时间复杂度是O(n)。

画外音：把整个数组扫一遍，比t大的放左边，比t小的放右边，最后t放在中间N\[i\]。

**partition和TopK问题有什么关系呢？**

TopK是希望求出arr\[1,n\]中最大的k个数，那如果找到了第**k**大的数，做一次partition，不就一次性找到最大的k个数了么？

画外音：即partition后左半区的k个数。

问题变成了arr\[1, n\]中找到第k大的数。

再回过头来看看第一次partition，划分之后：

i = partition(arr, 1, n);

如果i大于k，则说明arr\[i\]左边的元素都大于k，于是只递归arr\[1, i-1\]里第k大的元素即可；

如果i小于k，则说明说明第k大的元素在arr\[i\]的右边，于是只递归arr\[i+1, n\]里第k-i大的元素即可；

画外音：这一段非常重要，多读几遍。

这就是**随机选择算法randomized\_select**，RS，其伪代码如下：

int RS(arr, low, high, k)\{

if(low== high) return arr\[low\];

i= partition(arr, low, high);

temp= i-low; //数组前半部分元素个数

if(temp>=k)

return RS(arr, low, i-1, k); //求前半部分第k大

else

return RS(arr, i+1, high, k-i); //求后半部分第k-i大

![在这里插入图片描述][97224a016d29456f9fefb5de79b7013e.png]

这是一个典型的减治算法，递归内的两个分支，最终只会执行一个，它的时间复杂度是O(n)。

再次强调一下：

*  **分治法**，大问题分解为小问题，小问题都要递归各个分支，例如：快速排序
 *  **减治法**，大问题分解为小问题，小问题只要递归一个分支，例如：二分查找，随机选择

通过随机选择（randomized\_select），找到arr\[1, n\]中第k大的数，再进行一次partition，就能得到TopK的结果。

**五、总结**

TopK，不难；其思路优化过程，不简单：

*  **全局排序**，O(n\*lg(n))
 *  **局部排序**，只排序TopK个数，O(n\*k)
 *  **堆**，TopK个数也不排序了，O(n\*lg(k))
 *  **分治法**，每个分支“都要”递归，例如：快速排序，O(n\*lg(n))
 *  **减治法**，“只要”递归一个分支，例如：二分查找O(lg(n))，随机选择O(n)
 *  **TopK的另一个解法**：随机选择+partition

知其然，知其所以然。

思路比结论重要。

希望大家对TopK有新的认识，谢转。

**相关推荐：**

[《数据库索引底层，如何实现？》][Link 1]B+树

[《搜索引擎底层，如何实现？》][Link 2]倒排索引

[《10W定时任务，如何实现？》][10W]HWTimer

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