绝对值函数

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-08-17 17:32 48阅读 0赞

## 前言 ##

## 典例剖析 ##

例1当\\(x\\in \[\\cfrac\{3\}\{2\},4\]\\)时，不等式\\(|ax^2+bx+4a|\\leqslant 2x\\)恒成立，则\\(6a+b\\)的最大值是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

分析：由于\\(x\\in \[\\cfrac\{3\}\{2\},4\]\\)，故两边同除以\\(x\\)，得到\\(|ax+\\cfrac\{4a\}\{x\}+b|\\leqslant 2\\)，

设\\(f(x)=ax+\\cfrac\{4a\}\{x\}+b=a(x+\\cfrac\{4\}\{x\})+b\\)，由于\\(x\\in \[\\cfrac\{3\}\{2\},4\]\\)，则\\(x+\\cfrac\{4\}\{x\}\\in \[4,5\]\\)，

由于\\(|f(x)|\\leqslant 2\\)，故得到

\\(-2\\leqslant 4a+b\\leqslant 2\\)；\\(-2\\leqslant 5a+b\\leqslant 2\\)；

\\(6a+b=-(4a+b)+2(5a+b)\\)，

而\\(-2+2\\times (-2)\\leqslant 6a+b\\leqslant 2+2\\times2\\)，

故\\((6a+b)\_\{max\}=6\\)

例2已知函数\\(f(x)\\)是定义在\\(R\\)上的偶函数，当\\(x\\ge 0\\)时，\\(f(x)=2^x\\)，在区间\\(\[a，a+2\]\\)上，\\(f(x+a)\\ge f^2(x)\\)恒成立，求\\(a\\)的取值范围。

分析：由题目易知，当\\(x< 0\\)时，\\(f(x)=2^\{-x\}\\)，即\\(f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{2^x，x\\geqslant 0\}\\\\\{2^\{-x\}，x<0\}\\end\{array\}\\right.\\)

故函数的解析式\\(f(x)=2^\{|x|\}\\)，\[说明：此处用到合二为一的策略，便于下一步运算；\]

则在区间\\(\[a，a+2\]\\)上，\\(f(x+a)\\ge f^2(x)\\)恒成立可以转化为

不等式\\(2^\{|x+a|\}\\ge 2^\{|2x|\}\\)恒成立，再将超越不等式转化为代数不等式，

即\\(\{|x+a|\}\\ge \{|2x|\}\\)恒成立，两边平方做差，

即\\(3x^2-2ax-a^2\\leq 0\\)在区间\\(\[a，a+2\]\\)上恒成立，

令\\(h(x)=3x^2-2ax-a^2\\)，只需满足\\(\\begin\{cases\}h(a)\\leq 0\\\\h(a+2)\\leq 0\\end\{cases\}\\)，

即\\(\\begin\{cases\}3a^2-2a^2-a^2\\leq 0\\\\3(a+2)^2-2a(a+2)-a^2\\leq 0\\end\{cases\}\\)，

解得\\(a\\leq -\\cfrac\{3\}\{2\}\\).

解后反思：①、将函数\\(f(x)\\)的解析式做成分段函数的形式，就很容易将思路引入分类讨论；如果能用到合二为一的策略，就避免了分类讨论的岔路口；再次提醒最好将函数\\(f(x)=2^\{|x|\}\\)看成一个模板函数。

②、当转化得到函数\\(g(x)=2^\{|x+a|\}-2^\{|2x|\}\\ge 0\\)恒成立后，如果想到分类讨论去掉绝对值符号，就会极其麻烦；

③、如果出现了两个绝对值符号，去掉的最好方法就是同时平方的方法。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11546676.html

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