数学概念的演变

浅浅的花香味﹌ 2023-08-17 17:32 102阅读 0赞

## 前言 ##

## 函数概念： ##

函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。

传统定义：设在某变化过程中有两个变量\\(x\\)、\\(y\\)，如果对于\\(x\\)在某一范围内的每一个确定的值，\\(y\\)都有唯一确定的值与它对应，那么就称\\(y\\)是\\(x\\)的函数，\\(x\\)叫做自变量。我们将自变量\\(x\\)取值的集合叫做函数的定义域，和自变量\\(x\\)对应的\\(y\\)的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

近代定义：设\\(A\\)，\\(B\\)都是非空的数集，\\(f：x→y\\)是从\\(A\\)到\\(B\\)的一个对应法则，那么从\\(A\\)到\\(B\\)的映射\\(f：A→B\\)就叫做函数，记作\\(y=f(x)\\)，其中\\(x∈A\\)，\\(y∈B\\)，原象集合\\(A\\)叫做函数\\(f(x)\\)的定义域，象集合\\(C\\)叫做函数\\(f(x)\\)的值域，显然有\\(C\\subseteq B\\)。

*  对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。

*  为什么要做这样的安排？

就高中的教学实践来看，高中阶段的学生接受映射这个抽象的数学概念都难度很大，更不用说初中学生了，故初中一般安排用传统定义来刻画函数，从运动变化的观点定义函数，便于学生理解和接受；随着学生的认知程度的提高，阅历的增加，接触函数的增多，用传统定义刻画的函数定义越来越不好解释函数的概念，比如迪利克雷函数，\\(f(x)=\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{1，x\\in Q\}\\\\\{0，x\\not\\in Q，\}\\end\{array\}\\right.\\) 她本质的体现是一种对应，而不是运动变化过程。故需要对函数的定义做出调整；

同时还需要注意到，使用函数的近代定义来刻画函数，她还需要能向下兼容传统定义。这一点是满足的。故高中阶段采用先定义对应，然后在对应的概念基础上再定义映射，最后以映射为基础定义函数。

## 角的概念 ##

*  初中定义：\[静态定义\]由公共端点的两条射线组成的图形，成为角。由此定义很容易理解其刻画的角的最大范围为\\(\\theta\\in \[0^\{\\circ\}，360^\{\\circ\}\]\\)。

如下图所示，

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但是，在日常生活中，我们经常会拧开水瓶盖子，顺时针几圈或者逆时针几圈，显然这时候静态角的范围已经不够用了，需要调整，这时候就需要动态角的概念粉墨登场了。

*  高中定义：\[动态定义\]将一条射线的端点放置在直角坐标的原点位置，射线和\\(x\\)轴的非负半轴重合，此时如果逆时针旋转就形成了正角，范围可以拓展到\\((0，+\\infty)\\)；如果顺时针旋转就形成了负角，范围可以拓展到\\((-\\infty，0)\\)；如果不做选择就形成零角；这样采用动态定义，就能很容易将角的范围扩充到\\((-\\infty，+\\infty)\\)；

而且这种定义方式也是能兼容角的静态定义的。

## 三角函数的概念 ##

*  初中定义：同样由于受学生的认知能力和角的范围的限制，只是在\\(Rt\\triangle\\)中定义，\\(sin\\theta=\\cfrac\{对边\}\{斜边\}\\)，\\(cos\\theta=\\cfrac\{邻边\}\{斜边\}\\)；这种定义的缺陷是三角函数的自变量\\(\\theta\\)的范围只能是\\(\[0^\{\\circ\}，90^\{\\circ\}\]\\)。

而高中的角的范围已经扩充到了\\((-\\infty，+\\infty)\\)，显然上述的初中定义已经不能用了，需要更新，应该怎么更新呢？

*  高中定义：将角放置到平面直角坐标系中，初始边放置到\\(x\\)轴的非负半轴上，终边随其落在某个象限或者坐标轴上，然后在终边上任取一点(不是原点)\\(P(x，y)\\)，则\\(r=|OP|=\\sqrt\{x^2+y^2\}\\)，则\\(sin\\theta=\\cfrac\{y\}\{r\}\\)，\\(cos\\theta=\\cfrac\{x\}\{r\}\\)，\\(tan\\theta=\\cfrac\{y\}\{x\}\\)，

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很显然，这种定义方式可以刻画\\((-\\infty，+\\infty)\\)范围内的任意一个角的三角函数，而且兼容范围\\(\[0^\{\\circ\}，90^\{\\circ\}\]\\)，也就是说高中的三角函数的定义同样能解释初中的三角函数的定义，体现了数学概念发展的扬弃。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11531331.html

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