求参数的取值范围

- 日理万妓 2023-08-17 17:32 149阅读 0赞

## 前言 ##

> 求参数的取值范围，是高中数学中非常普遍的一类题目，现作以总结整理。、

## 集合 ##

例1已知集合\$A=\\\{x\\mid -2\\leq x\\leq 7\\\}\$，集合\$B=\\\{x\\mid m+1< x<2m-1 \\\}\$，若\$B\\subseteq A\$，则实数\$m\$的取值范围是什么？

分析：集合\$A\$为定集，集合\$B\$为动集，又因为出现了条件\$B\\subseteq A\$，故需要针对集合\$B\$分类讨论如下：

1、当集合\$B=\\varnothing\$时，则有\$m+1\\ge 2m-1\$，解得\$m\\leq 2\$；

![992978-20190708070518123-1589603482.gif][]

2、当集合\$B\\neq\\varnothing\$时，必须满足三个条件，即\$\\begin\{cases\}&m+1<2m-1\\\\&-2\\leq m+1\\\\&2m-1\\leq 7\\end\{cases\}\$，解得\$2<m\\leq 4\$；

![992978-20190708070121245-1433285635.gif][]

综上所述：实数\$m\$的取值范围是\$\\\{m\\mid m\\leq 4\\\}\$。

## 逻辑用语 ##

例2已知\$“\$命题\$p：(x-m)^2>3(x-m)\$\$”\$是\$“\$命题\$q：x^2+3x-4<0\$\$”\$成立的必要不充分条件,则实数\$m\$的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_.

【解析】先化简命题\$p\$，由\$(x-m)^2>3(x-m)\$，得到\$x^2-(2m+3)x+m^2+3m>0\$，

即\$x^2-(2m+3)x+m(m+3)>0\$，即\$(x-m)\[x-(m+3)\]>0\$，

则有\$p：x>m+3\$或\$x<m；q：-4<x<1\$；

因为\$p\$是\$q\$成立的必要不充分条件，则\$\\\{x\\mid-4<x<1\\\}\\subseteq \\\{x\\mid x>m+3或x<m\\\}\$，

所以\$m+3≤-4\$或\$m≥1\$，即\$m≤-7\$或\$m≥1\$，

故\$m\$的取值范围为\$(-\\infty，-7\]\\cup\[1，+\\infty)\$。

例3【转化划归+分类讨论】设集合\$A=\\\{x\\mid -2-a<x<a，a>0\\\}\$，命题\$p\$：\$1\\in A\$，命题\$q\$：\$2\\in A\$，若\$p\$或\$q\$为真命题，\$p\$且\$q\$为假命题，则实数\$a\$的取值范围是【】

$A.\\\{a\\mid 0< a <1$或$a>2\\\}$

$B.\\\{a\\mid 0< a <1$或$a\\ge 2\\\}$

$C.\\\{a\\mid 1< a \\leq 2\\\}$

$D.\\\{a\\mid 1\\leq a\\leq 2\\\}$

法1：由\$p\$或\$q\$为真命题，\$p\$且\$q\$为假命题可知，转化为命题\$p\$ 和\$q\$必然是一真一假；

当\$p\$真且\$q\$假时，有\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{-2-a<1<a\}\\\\\{2\\ge a或 2\\leq -2-a\}\\end\{array\}\\right.\$，解得\$1<a\\leq 2\$；

当\$p\$假且\$q\$真时，有\$\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{1\\ge a或 1\\leq -2-a\}\\\\\{-2-a<2<a\}\\end\{array\}\\right.\$，解得\$a\\in \\varnothing\$；

综上，\$1<a\\leq 2\$；故选\$C\$。

法2：利用运动观点求解，做出区间\$(-2-a，a)\$，然后让参数\$a\$从\$0\$到\$3\$逐渐增大，

当\$a=0\$时，设给定区间为\$A\$，则\$A=(-2，0)\$，此时\$1\\not\\in A\$且\$2\\not\\in A\$，故不满足题意；

当\$a=1\$时，则\$A=(-3，1)\$，此时\$1\\not\\in A\$且\$2\\not\\in A\$，故不满足题意；

当\$a=1.5\$时，则\$A=(-3.5，1.5)\$，此时\$1\\in A\$且\$2\\not\\in A\$，故满足题意；

当\$a=2\$时，则\$A=(-4，2)\$，此时\$1\\in A\$且\$2\\not\\in A\$，故满足题意；

当\$a=3\$时，则\$A=(-5，3)\$，此时\$1\\in A\$且\$2\\in A\$，故不满足题意；

综上可知，参数\$a\$的取值只能是\$1<a\\leq 2\$；选\$C\$.

## 定义域值域 ##

>  *  已知定义域或值域，求参数的取值范围

例1【已知定义域或值域为\$R\$求参数的取值范围】已知函数\$f(x)=ln(x^2+2ax-a)\$，

①如果函数的定义域是\$R\$，求参数\$a\$的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是\$R\$，说明对任意的\$x\\in R\$，都能使得\$g(x)=x^2+2ax-a>0\$，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数\$g(x)\$开口向上，和\$x\$轴没有交点，则\$\\Delta <0\$，

即\$\\Delta=(2a)^2-4\\times 1\\times(-a)<0\$，解得\$a\\in (-1，0)\$。

②如果函数的值域是\$R\$，求参数\$a\$的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数\$f(x)\$的值域是\$R\$，说明内函数\$g(x)=x^2+2ax-a\$必须要能取遍所有的正数，结合下图，

![992978-20170729140513472-490475033.gif][]

如果有一部分正实数不能取到，那么函数\$f(x)\$的值域就不会是\$R\$，这样只能是函数\$g(x)\$的\$\\Delta \\ge 0\$，

![992978-20170729140526675-433037644.gif][]

而不能是\$\\Delta <0\$，注意现在题目要求是值域为\$R\$，而不是定义域为\$R\$，

因此必须满足条件\$\\Delta=(2a)^2-4\\times 1\\times(-a)\\ge 0\$，解得\$a\\in \\\{a\\mid a\\leq -1 ，a\\ge 0\\\}\$。

下图是参数\$a\\in \[-3，3\]\$时的两个函数图像的动态变化情况；

![992978-20190806115510595-1509397978.gif][]

下图是参数\$a\\in (-1，0)\$时的两个函数图像的动态变化情况；

![992978-20190806115509519-1186911010.gif][]

## 二次不等式 ##

例1【2017铜川模拟】不等式\$a^2+8b^2\\ge \\lambda b(a+b)\$对于任意的\$a，b\\in R\$恒成立，则实数\$\\lambda\$的取值范围为\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。

法1：(将\$b\$和\$\\lambda\$看做系数)将不等式转化为\$a^2-\\lambda ba+8b^2-\\lambda b^2\\ge 0\$对任意的\$a\\in R\$恒成立，

则\$\\Delta =b^2\\lambda^2-4(8b^2-\\lambda b^2)=b^2(\\lambda^2+4\\lambda-32)\\leq 0\$，

解得\$-8\\leq \\lambda \\leq 4\$。

法2：变量集中策略，当\$b=0\$时，即\$a^2\\ge 0\$恒成立，\$\\lambda\\in R\$；

当\$b\\neq 0\$时，原不等式等价于\$(\\cfrac\{a\}\{b\})^2+8\\ge \\lambda (\\cfrac\{a\}\{b\})+\\lambda\$，

令\$\\cfrac\{a\}\{b\}=t\\in R\$，即\$t^2-\\lambda t+8-\\lambda\\ge 0\$对任意的\$t\\in R\$恒成立，

则\$\\Delta =(\\lambda)^2-4(8-\\lambda)\\leq 0\$，

解得\$-8\\leq \\lambda \\leq 4\$。

综上所述(两种情况取交集)，实数\$\\lambda\$的取值范围为\$-8\\leq \\lambda \\leq 4\$。

例2设函数\$f(x)=mx^2-mx-x(m\\neq 0)\$，若对于\$x\\in \[1，3\]\$，\$f(x)<-m+5\$恒成立，求\$m\$的取值范围。

法1：利用二次函数求解，要使\$f(x)<-m+5\$恒成立，即\$mx^2-mx+m-6<0\$，

即\$m(x-\\cfrac\{1\}\{2\})^2+\\cfrac\{3\}\{4\}x-6<0\$在\$x\\in\[1,3\]\$上恒成立，

令\$g(x)=m(x-\\cfrac\{1\}\{2\})^2+\\cfrac\{3\}\{4\}x-6,x\\in \[1,3\]\$，

当\$m>0\$时，\$g(x)\$在\$\[1,3\]\$上是增函数，

所以\$g(x)\_\{max\}=g(3)=7m-6<0\$, 解得\$m<\\cfrac\{6\}\{7\}\$，

则有\$0<m<\\cfrac\{6\}\{7\}\$；

当\$m<0\$时，\$g(x)\$在\$\[1,3\]\$上是减函数，

所以\$g(x)\_\{max\}=g(1)=m-6<0\$, 解得\$m<6\$，

则有\$m<0\$；

综上所述，\$m\$的取值范围是\$(-\\infty,0)\\cup(0,\\cfrac\{6\}\{7\})\$。

法2：分离参数法，因为\$x^2-x+1>0\$，由\$f(x)<-m+5\$可得\$m(x^2-x+1)-6<0\$，

故有\$m<\\cfrac\{6\}\{x^2-x+1\}\$恒成立，

又因为函数\$y=\\cfrac\{6\}\{x^2-x+1\}=\\cfrac\{6\}\{(x-\\cfrac\{1\}\{2\})^2+\\cfrac\{3\}\{4\}\}\$在区间\$\[1,3\]\$上的最小值为\$\\cfrac\{6\}\{7\}\$,

故只需\$m<\\cfrac\{6\}\{7\}\$即可，

又因为\$m\\neq 0\$，所以\$m\$的取值范围是\$(-\\infty,0)\\cup(0,\\cfrac\{6\}\{7\})\$。

例4已知\$a\\in\[-1,1\]\$时不等式\$x^2+(a-4)x+4-2a>0\$恒成立，则\$x\$的取值范围是多少？

分析：主辅元换位，把不等式的左端看成关于\$a\$的一次函数，

记为\$f(a)=(x-2)a+x^2-4x+4\$，则由\$f(a)>0\$对于任意的\$a\\in\[-1,1\]\$恒成立，

只需\$\\begin\{cases\}f(-1)>0\\\\f(1)>0\\end\{cases\}\$即可，

即\$\\begin\{cases\}x^2-5x+6>0\\\\x^2-3x+2>0\\end\{cases\}\$，

解得\$x<1\$或\$x>3\$，则\$x\$的取值范围是\$(-\\infty,1)\\cup(3,+\\infty)\$.

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10045664.html

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