二次不等式习题

你的名字 2023-08-17 17:31 103阅读 0赞

## 前言 ##

## 典例剖析 ##

例1已知不等式\\(ax^2-bx-1\\ge 0\\)的解集是\\(\[-\\cfrac\{1\}\{2\}，-\\cfrac\{1\}\{3\}\]\\)，求不等式\\(x^2-bx-a<0\\)的解集。

分析：由题目已知条件可知，方程\\(ax^2-bx-1= 0\\)的两个根是\\(x=-\\cfrac\{1\}\{2\}\\)和\\(x=-\\cfrac\{1\}\{3\}\\)，

故由韦达定理可知\\((-\\cfrac\{1\}\{2\})+(-\\cfrac\{1\}\{3\})=-\\cfrac\{-b\}\{a\}=\\cfrac\{b\}\{a\}\\)，\\((-\\cfrac\{1\}\{2\})\\times(-\\cfrac\{1\}\{3\})=\\cfrac\{-1\}\{a\}\\)，

解得\\(a=-6，b=5\\)，故所求解集的不等式即为\\(x^2-5x+6<0\\)，

解得\\(2<x<3\\)，故\\(x\\in (2，3)\\)。

例2已知二次函数\\(f(x)>0\\)解集\\(\\\{x\\mid x<1或x>3\\\}\\),求\\(f(log\_2^\\;x)<0\\)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，\\(f(x)<0\\)的解集为\\(\\\{x\\mid 1<x<3\\\}\\)，

故由\\(f(log\_2^\\;x)<0\\)可得，\\(1<log\_2^\\;x<3\\)，即\\(log\_2\\;2<log\_2^\\;x<log\_2\\;8\\)，故\\(2<x<8\\)；

例3【2018届山东菏泽期中】关于\\(x\\)的不等式\\(x^2-(a+1)x+a<0\\)的解集中，恰有3个整数，则\\(a\\)的取值范围是【】

$A(4，5)$ $B(-3，2)\\cup(4，5)$ $C(4，5\]$ $D\[-3，2)\\cup(4，5\]$

分析：由于\\(x\\)的不等式\\(x^2-(a+1)x+a<0\\)可以转化为\\((x-a)(x-1)<0\\)，

故函数\\(f(x)=(x-1)(x-a)\\)有两个零点，一个为定零点\\(x=1\\)，另一个为动零点\\(x=a\\)，

做出其图像，由图像可知需要分类讨论，

当\\(a>1\\)时，解集为\\((1，a)\\)，此时若要包含3个整数，需要\\(4<a\\leq 5\\)；

当\\(a<1\\)时，解集为\\((a，1)\\)，此时若要包含3个整数，需要\\(-3\\leq a<-2\\)；

故\\(a\\in \[-3，2)\\cup(4，5\]\\)，故选\\(D\\)。

例4关于\\(x\\)的不等式\\(ax-b<0\\)的解集是\\((1,+\\infty)\\)，则关于\\(x\\)的不等式\\((ax+b)(x-3)>0\\)的解集是【】

$A.(-\\infty，-1)\\cup(3，+\\infty)$ $B.(1，3)$ $C.(-1，3)$ $D.(-\\infty，1)\\cup(3，+\\infty)$

分析：由不等式\\(ax-b<0\\)的解集是\\((1,+\\infty)\\)，即\\(ax<b\\)的解集是\\((1,+\\infty)\\)，则\\(a=b<0\\)，

故不等式\\((ax+b)(x-3)>0\\)可化为\\((x+1)(x-3)<0\\)，解得\\(-1<x<3\\)，故选\\(C\\).

例5若不等式\\(x^2-(a+1)x+a\\leqslant 0\\)的解集是\\(\[-4,3\]\\)的子集，则\\(a\\)的取值范围是【】

$A.\[-4，1\]$ $B.\[-4,3\]$ $C.\[1，3\]$ $D\[-1，3\]$

分析：原不等式为\\((x-a)(x-1)\\leqslant 0\\)，

当\\(a<1\\)时，原不等式解集为\\(\[a,1\]\\)，此时只要\\(a\\geqslant 4\\)即可，即\\(-4\\leqslant a<1\\);

当\\(a=1\\)时，原不等式的解为\\(x=1\\)，此时符合要求；

当\\(a>1\\)时，原不等式的解集为\\(\[1,a\]\\)，此时只要\\(a\\leqslant 3\\)即可，即\\(1<a\\leqslant 3\\);

综上可知，\\(-4\\leqslant a\\leqslant 3\\)，故选\\(B\\).

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11416216.html

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