argmin ，argmax函数

雨点打透心脏的1/2处 2023-08-17 16:52 91阅读 0赞

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在数学中，ARG MAX（或ARGMAX）代表最大值，即给定参数的点集，给定表达式的值达到其最大值：

![\\underset\{x\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, f(x) := \\\{x\\ |\\ \\forall y : f(y) \\le f(x)\\\}][underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x_ _x_ _ _forall y_ f_y_ _le f_x]

换一种说法，

![\\underset\{x\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, f(x)][underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x]

是f（x）具有最大值M的x的值的集合。例如，如果f（x）是1- | x |，那么它在x = 0时达到其最大值1并且仅在那里， 所以![\\underset\{x\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, (1-|x|) = \\\{0\\\}][underset_x_operatorname_arg_max_ _ _1-_x_ _ _0].![\\underset\{x\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, (1-|x|) = \\\{0\\\}][underset_x_operatorname_arg_max_ _ _1-_x_ _ _0].

等价地，如果M是f的最大值，那么arg max是最大值的水平集

![\\underset\{x\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, f(x) = f^\{-1\}(M) = \\\{x\\ |\\ f(x) = M \\\}][underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x_ _ f_-1_M_ _ _x_ _ f_x_ _ M]

如果最大值达到一个值，那么一个将该点称为arg max，这意味着我们将arg max定义为一个点，而不是一组点。所以，例如

![\\underset\{x\\in \\Bbb\{R\}\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} (x(10-x)) = 5][underset_x_in _Bbb_R_operatorname_arg_max_ _x_10-x_ _ 5]

（而不是单独集合\{5\}），因为x（10-x）的最大值是25，这在x = 5时发生。 但是，如果在许多值处达到最大值，则arg max是一组点。 然后，我们举例说

![\\underset\{x \\in \[0,4\\pi\]\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\} \\, \\cos(x) = \\\{0,2\\pi,4\\pi\\\}][underset_x _in _0_4_pi_operatorname_arg_max_ _ _cos_x_ _ _0_2_pi_4_pi]

因为cos（x）的最大值是1，当x =0,2π或4π时，这个间隔发生。在整个实线上，arg max是 ![\\\{0, 2\\pi, -2\\pi, 4\\pi, \\dots \\\}.][0_ 2_pi_ -2_pi_ 4_pi_ _dots _.]

arg min（或argmin）被类似地定义.

还要注意函数通常不会达到最大值，因此通常不会有arg max: ![\\underset\{x\\in \\Bbb\{R\}\}\{\\operatorname\{arg\\,max\}\}\\, x][underset_x_in _Bbb_R_operatorname_arg_max_ x] 没有定义，因为x在实线上是无界的。然而，通过极值定理（或经典致密性理论），紧凑区间上的连续函数具有最大值，因此arg max。

argmin 表示使目标函数取最小值时的变量值

转载于:https://www.cnblogs.com/lvdongjie/p/11570774.html

[underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x_ _x_ _ _forall y_ f_y_ _le f_x]: /images/20230809/29b571c66ee647b890dbae59c61f7c13.png
[underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x]: /images/20230809/ac0537d844494b93ab84c46370e6dbe1.png
[underset_x_operatorname_arg_max_ _ _1-_x_ _ _0]: /images/20230809/1c991de3c37b4cc1945b195e39ca4e9a.png
[underset_x_operatorname_arg_max_ _ f_x_ _ f_-1_M_ _ _x_ _ f_x_ _ M]: /images/20230809/b6d854e9757f483ab83ed35cd4d44b04.png
[underset_x_in _Bbb_R_operatorname_arg_max_ _x_10-x_ _ 5]: /images/20230809/9eedce794eed45828e9e02f1ad2cfd73.png
[underset_x _in _0_4_pi_operatorname_arg_max_ _ _cos_x_ _ _0_2_pi_4_pi]: /images/20230809/a1b6f9e19d7241c6b2ff1d5c393842f2.png
[0_ 2_pi_ -2_pi_ 4_pi_ _dots _.]: /images/20230809/77686d280f3545e8992172a8d8ba8bfc.png
[underset_x_in _Bbb_R_operatorname_arg_max_ x]: /images/20230809/d710f45262ae4104adee4e1f76e46c62.png