L2范数归一化概念和优势

青旅半醒 2023-08-17 15:16 42阅读 0赞

# 1 归一化处理 #

归一化是一种数理统计中常用的数据预处理手段，在机器学习中归一化通常将数据向量每个维度的数据映射到(0,1)或(-1,1)之间的区间或者将数据向量的某个范数映射为1，归一化好处有两个：

(1) 消除数据单位的影响：其一可以将有单位的数据转为无单位的标准数据，如成年人的身高150-200cm、成年人体重50-90Kg，身高的单位是厘米而体重的单位是千克，不同维度的数据单位不一样，造成原始数据不能直接代入机器学习中进行处理，所以这些数据经过特定方法统一都映射到(0,1)这个区间,这样所有数据的取值范围都在同一个区间里的。

(2) 可提深度学习模型收敛速度: 如果不进行归一化处理，假设深度学习模型接受的输入向量只有两个维度x1和x2，其中X1取值为0-2000，x2取值为0-3。这样数据在进行梯度下降计算时梯度时对应一个很扁的椭圆形，很容易在垂直等高线的方向上走大量的之字形路线，是的迭代计算量大且迭代的次数多，造成深度学习模型收敛慢。

# 2 L2范数归一化的概念 #

L2范数归一化处理操作是对向量X的每个维度数据x1, x2, …, xn都除以||x||2得到一个新向量，即  
\\\[\{ \{\\bf\{X\}\}\_2\} = \\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{x\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\},\\frac\{ \{ \{x\_2\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{x\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}, \\cdots ,\\frac\{ \{ \{x\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{x\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right) = \\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\}\}\{ \{\\sqrt \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\} \}\},\\frac\{ \{ \{x\_2\}\}\}\{ \{\\sqrt \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\} \}\}, \\cdots ,\\frac\{ \{ \{x\_n\}\}\}\{ \{\\sqrt \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\} \}\}\} \\right)\\\]

若向量A = (2, 3, 6)，易得向量X的L2范数为  
\\\[\{\\left\\| \{\\bf\{A\}\} \\right\\|\_2\} = \\sqrt \{ \{2^2\} + \{3^2\} + \{6^2\}\} = \\sqrt \{4 + 9 + 36\} = \\sqrt \{49\} = 7\\\]

所以向量A的L2范数归一化后得到向量为  
\\\[\{ \{\\bf\{A\}\}\_2\} = \\left( \{\\frac\{2\}\{7\},\\frac\{3\}\{7\},\\frac\{6\}\{7\}\} \\right)\\\]

![1180694-20190713142905186-1211224097.png][]  
图1 L2范数可以看作是向量的长度

# 3 L2范数归一化的优势 #

**L2范数有一大优势：经过L2范数归一化后，一组向量的欧式距离和它们的余弦相似度可以等价**

一个向量X经过L2范数归一化得到向量X2，同时另一个向量Y经过L2范数归一化得到向量Y2。此时X2和Y2的欧式距离和余弦相似度是等价的，下面先给出严格的数学证明。

假设向量X = (x1, x2, …, xn)，向量Y = (y1, y2, …, yn)， X2和Y2的欧式距离是  
\\\[\\begin\{array\}\{l\} D\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right) = \\sqrt \{ \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{ \{y\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^2\} + \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_2\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{ \{y\_2\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^2\} + \\cdots + \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{ \{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^2\}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\sqrt \{\\left( \{\\frac\{ \{\\bf\{X\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{\\bf\{Y\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\{ \{\\left( \{\\frac\{ \{\\bf\{X\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{\\bf\{Y\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^T\}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\sqrt \{\\frac\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{X\}\}^T\}\}\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\_2^2\}\} - \\frac\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} - \\frac\{ \{ \{\\bf\{Y\}\}\{ \{\\bf\{X\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} + \\frac\{ \{ \{\\bf\{Y\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\_2^2\}\}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\sqrt \{\\frac\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{X\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{X\}\}^T\}\}\} - \\frac\{ \{2\{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} + \\frac\{ \{ \{\\bf\{Y\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{\\bf\{Y\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\sqrt \{2 - 2\\frac\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\\\ \\end\{array\}\\\]

X2和Y2的余弦相似度为  
\\\[\\begin\{array\}\{l\} Sim\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right) = \\frac\{ \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} \\cdot \\frac\{ \{ \{y\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\}\\frac\{ \{ \{x\_\{\\rm\{2\}\}\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} \\cdot \\frac\{ \{ \{y\_\{\\rm\{2\}\}\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\} \\cdots \{\\rm\{ + \}\}\\frac\{ \{ \{x\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} \\cdot \\frac\{ \{ \{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\}\}\{ \{\\sqrt \{ \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\}\{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_\{\\rm\{2\}\}\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\} \\cdots \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{x\_\{\\rm\{n\}\}\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\} \\cdot \\sqrt \{ \{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{y\_1\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\}\{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{y\_\{\\rm\{2\}\}\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\{\\rm\{ + \}\} \\cdots \{\\rm\{ + \}\}\{ \{\\left( \{\\frac\{ \{ \{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\} \\right)\}^\{\\rm\{2\}\}\}\} \}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\frac\{ \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\{y\_1\} + \{x\_2\}\{y\_2\} + \\cdots + \{x\_n\}\{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\}\}\{ \{\\sqrt \{\\frac\{ \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\}\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\_2^2\}\}\} \\cdot \\sqrt \{\\frac\{ \{y\_1^2 + y\_2^2 + \\cdots y\_n^2\}\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\_2^2\}\}\} \}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\frac\{ \{\\frac\{ \{ \{x\_1\}\{y\_1\} + \{x\_2\}\{y\_2\} + \\cdots + \{x\_n\}\{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\}\}\}\{ \{\\sqrt \{\\frac\{ \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\}\}\{ \{x\_1^2 + x\_2^2 + \\cdots + x\_n^2\}\}\} \\cdot \\sqrt \{\\frac\{ \{y\_1^2 + y\_2^2 + \\cdots y\_n^2\}\}\{ \{y\_1^2 + y\_2^2 + \\cdots y\_n^2\}\}\} \}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\frac\{ \{ \{x\_1\}\{y\_1\} + \{x\_2\}\{y\_2\} + \\cdots + \{x\_n\}\{y\_n\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} \\\\ \\quad \\quad \\quad \\quad \\quad \\;\\;\\; = \\frac\{ \{ \{\\bf\{X\}\}\{ \{\\bf\{Y\}\}^T\}\}\}\{ \{ \{ \{\\left\\| \{\\bf\{X\}\} \\right\\|\}\_2\}\{ \{\\left\\| \{\\bf\{Y\}\} \\right\\|\}\_2\}\}\} \\\\ \\end\{array\}\\\]  
       结合两个表达式易得  
\\\[D\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right) = \\sqrt \{2 - 2sim\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right)\} \\\]

即L2范数归一化处理后两个向量欧式距离等于2减去2倍余弦相似度的算术平方根。如果你被上面令人昏头转向的数学公式搞晕，而不想看的话，这里还有一种仅需要中学知识的更简单证明方法证明两者的等价性:

假设一组二维数据，设经过L2范数归一化后向量X2 为 (p1, p2)，向量Y2 为 (q1, q2)。向量X2是原点(0,0) 指向点P(p1,p2)的有向线段，向量Y2是原点(0,0)指向点Q(q1, q2)的有向线段。易得

X2和Y2的欧式距离为线段PQ长度

X2和Y2的余弦相似度为∠POQ的余弦值

根据余弦定理易得

\\\[\\cos \\angle POQ = \\frac\{ \{O\{P^2\} + O\{Q^2\} - P\{Q^2\}\}\}\{ \{2 \\cdot OP \\cdot OQ\}\}\\\]

因为L2范数归一化向量的长度都是1，因为L2范数归一化向量的长度都是1，那么向量对应的点肯定都在单位圆上，所以OP=OQ=1

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图2 L2范数归一化后向量对应的点都在单位圆上

因此  
\\\[\\cos \\angle POQ = \\frac\{ \{ \{1^2\} + \{1^2\} - P\{Q^2\}\}\}\{2\} = \\frac\{ \{2 - P\{Q^2\}\}\}\{2\}\\\]

即  
\\\[sim\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right) = \\frac\{ \{2 - D\{ \{\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right)\}^2\}\}\}\{2\} \\Rightarrow D\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right) = \\sqrt \{2 - 2sim\\left( \{ \{ \{\\bf\{X\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\},\{ \{\\bf\{Y\}\}\_\{\\rm\{2\}\}\}\} \\right)\} \\\]

因此经L2范数归一化后，一组向量的欧式距离和它们的余弦相似度可等价。这一大优势是当你算得一组经过L2范数归一化后的向量的欧式距离后，又想计算它们的余弦相似度，可以根据公式在O(1)时间内直接计算得到；反过来也一样。

另外，在一些机器学习处理包中，只有欧式距离计算没有余弦相似度计算，如Sklearn的Kmeans聚类包，这个包只能处理欧式距离计算的数据聚类。

而在NLP领域，许多词语或文档的相似度定义为数据向量的余弦相似度，如果直接调用Sklearn的Kmeans聚类包则不能进行聚类处理。因此需要将词语对象的词向量或者文档对应的文本向量进行L2范数归一化处理。因为在L2范数归一化处理后的欧式距离和余弦相似度是等价的，所以此时可以放心大胆用Sklearn的Kmeans进行聚类处理。

转载于:https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/11180519.html

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