对傅里叶变换公式的理解

本是古典何须时尚 2023-07-18 12:50 11阅读 0赞

# 对傅里叶变换公式的理解 #

## 为什么要进行傅里叶变化 ##

很多时候，频域比时域直观的多。  
傅里叶变换，表明时域的信号可以分解为不同频率的正弦波的叠加。我们接受来自一段非周期信号的时候，可以更好的处理。  
举个例子，如果我们把两个个没有公共频率成分的信号相加，一同发送。在接收端接收到之后，用滤波器把两个信号分开，就可以还原出发送的两个信号。这就是通信的实质。

## 傅里叶变换公式 ##

![傅里叶变换公式][20200327133723147.png_pic_center]  
其中x(t)是非周期连续时间信号，w为实数

### 适用于傅里叶公式的三个条件 ###

1、x(t) is absolutely integrable,namely  
![2020032718331539.png_pic_center][]  
x(t)必须绝对可积。可以理解为这个信号的能量必须是有限的。傅里叶变换不能表示具有无限能量的这些信号。  
2、x(t) has only a finite number of maximum and minima within any finite interval  
在任意个有限区间内，必须有有限个极大值和极小值  
3、x(t) has only a finite number of discontinuities within any finite interval  
它在任意一个有限区间内，必须有有限个不连续点  
第二和第三条件可以理解为信号足够光滑

## 傅里叶公式的数学来源 ##

### 两种最基本的复指数信号 ###

![20200327190424560.png_pic_center][]

![20200327190518692.png_pic_center][]  
前者是连续时间域的表达方式，参数为角速度，对应的连续时间  
后者是离散时间点的表达方式，参数为角速度，对应的时间点

连续时间域的表达式有一些很重要的特征  
1、它是周期信号  
![20200327191344481.png_pic_center][]  
它的周期为  
![20200327191416751.png_pic_center][]  
k是整数，T为一个基本周期  
2、当角速度值越大的话，表明信号震荡的频率越快  
3、![20200327192330643.png_pic_center][]  
![20200327192352236.png_pic_center][]  
当w1的绝对值不等于w2的绝对值时，这两个信号是呈正交的关系

证明这两个信号是正交，用内积，对其中一项取共轭

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证明的最后一步，根据欧拉公式可以得到，即下图  
![20200327193506369.png_pic_center][]  
其中，欧拉公式的推导也很有趣  
拉格朗日等数学家发现某些周期函数可以由三角函数的和来表示，而另一位数学家，傅里叶男爵猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和  
感兴趣的读者可以参考下面链接，还有很多直观的动图  
[如何理解傅里叶变换公式][Link 1]

有了连续型复指数信号，一样，通过类比，在复空间内求内积，取一个信号的共轭，得到傅里叶变换公式  
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjYwNzIwMA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1][]

## 参考文献 ##

1、mooc课程<<数字图像处理与应用>> 浙江大学 陆系群  
2、知乎，如何理解傅里叶变换公式，https://www.zhihu.com/question/19714540  
3、知乎，傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换的联系是什么？为什么要进行这些变换?  
https://www.zhihu.com/question/22085329/answer/103926934

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[Link 1]: https://www.zhihu.com/question/19714540
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