动态规划算法与背包问题

Bertha 。 2023-07-12 14:38 76阅读 0赞

我们先看一个问题：  
背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品  
![在这里插入图片描述][20200309110405125.png]

1.  要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2.  要求装入的物品不能重复

### 动态规划算法基本介绍 ###

1.  动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法
2.  动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
3.  与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。 ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
4.  动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

### 动态规划算法实践 - 背包问题 ###

背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品  
![在这里插入图片描述][20200309110405125.png]

1.  要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2.  要求装入的物品不能重复

*  背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)
 *  这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包
 *

**思路分析**  
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w\[i\]和v\[i\]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设**v\[i\]、w\[i\]分别为第i个物品的价值和重量**，C为背包的容量。再令**v\[i\]\[j\]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2Z5ajEzOTI1NDc1OTU3_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
如上图可以看成一个二维数组v\[\]\[\], v\[i\]\[j\] 表示前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值\*\*

分析结果：

> 1.  v\[i\]\[0\]=v\[0\]\[j\]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
> 2.  当w\[i\]> j 时：v\[i\]\[j\]=v\[i-1\]\[j\] // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
> 3.  当j>=w\[i\]时： v\[i\]\[j\]=max\{v\[i-1\]\[j\], v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]\}  
>     // 当 准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量  
>     v\[i-1\]\[j\]： 就是上一个单元格的装入的最大值  
>     v\[i\] : 表示当前商品的价值  
>     v\[i-1\]\[j-w\[i\]\] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w\[i\]的最大值  
>     当j>=w\[i\]时： v\[i\]\[j\]=max\{v\[i-1\]\[j\], v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]\}

分析结果中前面2条比较好理解，第3条不太好理解

1.  其中第一条v\[i\]\[0\]=v\[0\]\[j\]=0，表示的v\[i\]\[0\]表示该背包的容量是0时,自然背包啥也装不了，不管是哪一种物品背包装下物品的价值都是0，v\[0\]\[j\]表示背包啥也没装，自然价值也是0
2.  第二条当w\[i\]> j 时，表示的是物品的重量已经大于背包的容量了，即背包已经装不下次物品了，所以该背包的价值是它上一个单元格的价值，即：v\[i\]\[j\]=v\[i-1\]\[j\]
3.  第三条当j>=w\[i\]时，表示的是背包的容量大于物品i的重量，那么此时背包所能产生最大的价值：是在上一个单元格的价值v\[i-1\]\[j\]和v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]选取一个最大的值来作为它的价值，其中v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]中v\[i\]表示物品i的价值，\[j-w\[i\]\]表示**背包装下i后剩余的容量**，则v\[i-1\]\[j-w\[i\]\]表示在上一个单元格中，j-w\[i\]重量的最大价值，则v\[i\]+v\[i-1\]\[j-w\[i\]\] 整个表达式的意思是，物品i的价值加上背包装下i后剩余空间所能装物品的最大价值。

**代码示例**：

public class KnapsackProblem { 
        public static void main(String[] args) { 
            // 物品的重量
            int[] w = { 1, 4, 3};
            // 物品的价值
            int[] val = { 1500, 3000, 2000};
            // 背包的容量
            int m = 4;
            // 物品的数量
            int n = val.length;
    
            // 二维数组,表示前i个物品中能够装入容
            // 量为j的背包中的最大价值
            int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
            //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
            int[][] path = new int[n+1][m+1];
            //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
            for(int i = 0; i < v.length; i++) { 
                v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
            }
            for(int i=0; i < v[0].length; i++) { 
                v[0][i] = 0; //将第一行设置0
            }
    
            //根据前面得到公式来动态规划处理
            for(int i = 1; i < v.length; i++) {  //不处理第一行 i是从1开始的
                for(int j=1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列, j是从1开始的
                    //公式
                    if(w[i-1]> j) {  // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    } else { 
                        //说明:
                        //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
                        //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                        //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                        //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
                        if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
                            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                            //把当前的情况记录到path
                            path[i][j] = 1;
                        } else { 
                            v[i][j] = v[i - 1][j];
                        }
                    }
                }
            }
    
            //输出一下v 看看目前的情况
            for(int i =0; i < v.length;i++) { 
                for(int j = 0; j < v[i].length;j++) { 
                    System.out.print(v[i][j] + " ");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("============================");
            //输出最后我们是放入的哪些商品
            //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
    // for(int i = 0; i < path.length; i++) { 
    // for(int j=0; j < path[i].length; j++) { 
    // if(path[i][j] == 1) { 
    // System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
    // }
    // }
    // }
    
            //动脑筋
            int i = path.length - 1; //行的最大下标
            int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
            while(i > 0 && j > 0 ) {  //从path的最后开始找
                if(path[i][j] == 1) { 
                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                    j -= w[i-1]; //w[i-1]
                }
                i--;
            }
        }
    }

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