程序员数学(21)–一元二次方程

灰太狼 2023-07-04 12:39 7阅读 0赞

***[点此查看全部文字教程、视频教程、源代码][Link 1]***

### 本文目录 ###

*  1. 概念
 *  2. 配方法解一元二次方程
 *  3. 公式法
 *  4. 因式分解法

# 1. 概念 #

形如以下形式，只含有一个未知数（一元），未知数最高次数为2（二次）的方程，叫做`一元二次方程`。  
 a x 2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0(a\\neq0) ax2\+bx\+c=0(a=0)  
使方程左右两侧相等的未知数的值，就是这个方程的`解`，一元二次方程的解也称为一元二次方程的`根`。

# 2. 配方法解一元二次方程 #

通过配成完全平方来解一元二次方程，举例如下，  
 x 2 + 2 x − 1 = 3 x 2 + 2 x = 4 x 2 + 2 x + 1 = 4 ( x + 1 ) 2 = 4      x + 1 = ± 2 x = − 1 ± 2 x^2+2x-1=3\\\\\\\\x^2+2x=4\\\\\\\\x^2+2x+1=4\\\\\\\\\{(x+1)\}^2=4\\;\\;x+1=\\pm2\\\\\\\\x=-1\\pm2\\\\\\\\ x2\+2x−1=3x2\+2x=4x2\+2x\+1=4(x\+1)2=4x\+1=±2x=−1±2

# 3. 公式法 #

直接给出一般形式的解法，推导如下：  
 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2\+bx\+c=0  
 a x 2 + b x = − c ax^2+bx=-c ax2\+bx=−c  
 x 2 + b a x = − c a x^2+\\frac bax=-\\frac ca x2\+abx=−ac  
 x 2 + b a x + ( b 2 a ) 2 = − c a + ( b 2 a ) 2 x^2+\\frac bax+\{(\\frac b\{2a\})\}^2=-\\frac ca+\{(\\frac b\{2a\})\}^2 x2\+abx\+(2ab)2=−ac\+(2ab)2  
 ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 \{(x+\\frac b\{2a\})\}^2=\\frac\{b^2-4ac\}\{4a^2\} (x\+2ab)2=4a2b2−4ac  
此时就要分类讨论了，设  
 △ = b 2 − 4 a c \\triangle=b^2-4ac △=b2−4ac

当△>0时，方程有两个不相等的实根即：  
 x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a x\_1=\\frac\{-b+\\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}\\\\\\\\\\\\x\_2=\\frac\{-b-\\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\} x1=2a−b\+b2−4acx2=2a−b−b2−4ac  
当△=0时，方程有两个相等的实根即：  
 x 1 = x 2 = − b 2 a x\_1=x\_2=-\\frac b\{2a\} x1=x2=−2ab  
当△<0时，方程无实数根。

所以二元一次方程的`求根公式`可以写作：  
 x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x\_\{\}=\\frac\{-b\\pm\\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}\\\\\\\\ x=2a−b±b2−4ac

# 4. 因式分解法 #

这种方法比较取消，通过将方程式转换为两个一次式的乘积等于0的形式，然后实现降次求解的方法，叫做因式分解法。举个例子：  
 x 2 + 3 x + 2 = 0 ( x + 1 ) ( x + 2 ) = 0 x 1 = − 1 , x 2 = − 2 x^2+3x+2=0\\\\(x+1)(x+2)=0\\\\x\_1=-1,x\_2=-2\\\\\\\\ x2\+3x\+2=0(x\+1)(x\+2)=0x1=−1,x2=−2

[Link 1]: https://studyingpanda.blog.csdn.net/article/details/105329926