方差的性质

末蓝、 2023-06-25 02:15 6阅读 0赞

1.  当C为常数时， V a r ( C ) = 0 Var( C ) = 0 Var(C)=0
2.  当X是随机变量，C是常数时： V a r ( C X ) = C 2 V a r ( X ) , V a r ( C + X ) = V a r ( X ) Var(CX) = C^2Var(X),Var(C+X)=Var(X) Var(CX)=C2Var(X),Var(C\+X)=Var(X)
3.  设X与Y是随机变量， V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y) Var(X\+Y)=Var(X)\+Var(Y)\+2Cov(X,Y)  
     V a r ( X − Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)-2Cov(X,Y) Var(X−Y)=Var(X)\+Var(Y)−2Cov(X,Y)  
    其中，协方差是 C o v ( X , Y ) = E \[ ( X − E X ) ( Y − E Y ) \] Cov(X,Y)=E\[(X-EX)(Y-EY)\] Cov(X,Y)=E\[(X−EX)(Y−EY)\]  
    当X,Y是不相关的随机变量时， V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) Var(X\+Y)=Var(X)\+Var(Y)
4.  Var(X)=0的充分必要条件是X以概率1取常数E（X），即  
     P ( X = E X ) = 1 P(\{X=EX\})=1 P(X=EX)=1  
    （当且仅当X取常数值E（X）时的概率为1时，Var（X）=0。）  
    *注：不能得出X恒等于常数，当x是连续的时候X可以在任意有限个点取不等于常数c的值。*
5.   V a r ( a X + b Y ) = a 2 V a r ( X ) + b 2 V a r ( Y ) + 2 a b C o v ( X , Y ) Var(aX+bY) =a^2Var(X)+b^2Var(Y)+2abCov(X,Y) Var(aX\+bY)=a2Var(X)\+b2Var(Y)\+2abCov(X,Y)
6.  总体方差计算公式：  
     σ 2 = Σ ( X − μ ) 2 N \\sigma^2=\\frac\{\\Sigma(X-\\mu)^2\}\{N\} σ2=NΣ(X−μ)2  
     σ 2 为 总 体 方 差 \\sigma^2 为总体方差 σ2为总体方差  
     x 为 变 量 x为变量 x为变量  
     μ 为 总 体 均 值 \\mu 为总体均值 μ为总体均值  
     N 为 总 体 例 数 N为总体例数 N为总体例数  
    7.样本方差计算公式：  
     S 2 = Σ ( X − X ‾ ) n − 1 S^2=\\frac\{\\Sigma(X-\\overline\{X\})\}\{n-1\} S2=n−1Σ(X−X)  
     X ‾ 为 样 本 均 值 \\overline X为样本均值 X为样本均值  
     S 2 为 样 本 方 差 , X 为 变 量 ， n 为 样 本 例 数 S^2 为样本方差,X为变量，n为样本例数 S2为样本方差,X为变量，n为样本例数
7.  离散型方差：  
     V a r ( X ) = Σ i = 1 n p i ( ˙ x i − μ ) 2 Var(X) = \\Sigma\_\{i=1\}^n\{p\_i\\dot(x\_i-\\mu)^2\} Var(X)=Σi=1npi(˙xi−μ)2  
    其中 μ = E ( X ) \\mu = E(X) μ=E(X)  
    而将上式展开后可得：  
     V a r ( X ) = Σ i = 1 n ( p i ∗ x i 2 ) − μ 2 Var(X)=\\Sigma\_\{i=1\}^\{n\}(p\_i\*x\_i^2)-\\mu ^2 Var(X)=Σi=1n(pi∗xi2)−μ2