SVD的理解

我不是女神ヾ 2023-06-21 10:16 7阅读 0赞

近一段时间一直在看推荐系统相关的内容，看到协同过滤的时候，有的大佬将协同过滤分成了三种情况（当然实际情况也许不止三种）来考虑并做了相互之间的比较，其中有一种就是基于SVD的协同过滤。当时看到这个是一脸的懵，就赶紧查了一下相关的资料恶补一下，记录在这。

SVD定义：

首先，我们来看一下什么是SVD，奇异值分解(Singular Value Decomposition，以下简称SVD)是在机器学习领域广泛应用的算法，它不光可以用于降维算法中的特征分解，还可以用于推荐系统，以及自然语言处理等领域。是很多机器学习算法的基石。当然我们在主成成份分析中也会遇到。太多的概念我也不是很了解，现在深挖只会让自己更加痛苦，所以今天只研究SVD。

基础铺垫：

了解这个之前我们先来预热一下，因为SVD原理需要用到大学的线性代数的知识（现在想想后悔当初没有好好学啊），我们需要用到特征值和特征向量的知识点来诠释，所以先来回顾一下这两个概念。

我们首先回顾下特征值和特征向量的定义如下：

![A][]![x][]=![\\lambda][lambda]![x][]

其中A是一个n×n的实对称矩阵，![x][]是一个n维向量，则我们说λ是矩阵A的一个特征值，而![x][]是矩阵A的特征值λ所对应的特征向量。

求出特征值和特征向量有什么好处呢？ 就是我们可以将矩阵A特征分解。如果我们求出了矩阵A的n个特征值λ![\_\{1\}][1]≤λ![\_\{2\}][2]≤...≤λ![\_\{n\}][n],以及这n个特征值所对应的特征向量\{w![\_\{1\}][1],w![\_\{2\}][2],...w![\_\{n\}][n]\}，如果这n个特征向量线性无关，那么矩阵A就可以用下式的特征分解表示：

A=![w\\Sigma w^\{-1\}][w_Sigma w_-1]

其中W是这n个特征向量所张成的n×n维矩阵，而Σ为这n个特征值为主对角线的n×n维矩阵。

一般我们会把W的这n个特征向量标准化，即满足||w![\_\{i\}][i]||![\_\{2\}][2]=1, 或者说![20191212110735603.png][]，此时W的n个特征向量为标准正交基，满足![20191212110827178.png][], 也就是说W为酉矩阵。

这样我们的特征分解表达式可以写成

![20191212110919287.png][]

注意到要进行特征分解，矩阵A必须为方阵。那么如果A不是方阵，即行和列不相同时，我们还可以对矩阵进行分解吗？答案是可以，此时我们的SVD登场了。

SVD也是对矩阵进行分解，但是和特征分解不同，SVD并不要求要分解的矩阵为方阵。假设我们的矩阵A是一个m×nm×n的矩阵，那么我们定义矩阵A的SVD为：

![20191212111144317.png][]

其中U是一个m×m的矩阵，Σ是一个m×n的矩阵，除了主对角线上的元素以外全为0，主对角线上的每个元素都称为奇异值，V是一个n×n的矩阵。U和V都是酉矩阵，即满足![20191212111304887.png][]下图可以很形象的看出上面SVD的定义：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU3NTAyMA_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

那么我们如何求出SVD分解后的U,Σ,V这三个矩阵呢？

如果我们将A的转置和A做矩阵乘法，那么会得到n×n的一个方阵![20191212111544408.png][]。既然![20191212111550239.png][]是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

![20191212111614824.png][]

这样我们就可以得到矩阵![20191212111544408.png][]的n个特征值和对应的n个特征向量vv了。将![20191212111544408.png][]的所有特征向量张成一个n×n的矩阵V，就是我们SVD公式里面的V矩阵了。一般我们将V中的每个特征向量叫做A的右奇异向量.

如果我们将A和A的转置做矩阵乘法，那么会得到m×m的一个方阵![20191212112100945.png][]。既然![20191212112059634.png][]是方阵，那么我们就可以进行特征分解，得到的特征值和特征向量满足下式：

![20191212111810271.png][]

这样我们就可以得到矩阵![20191212112003654.png][]的m个特征值和对应的m个特征向量u了。将![20191212112010559.png][]的所有特征向量张成一个m×m的矩阵U，就是我们SVD公式里面的U矩阵了。一般我们将U中的每个特征向量叫做A的左奇异向量。

U和V我们都求出来了，现在就剩下奇异值矩阵Σ没有求出了。由于Σ除了对角线上是奇异值其他位置都是0，那我们只需要求出每个奇异值σ就可以了。

我们注意到:

![20191212111923591.png][]

这样我们可以求出我们的每个奇异值，进而求出奇异值矩阵ΣΣ。

上面还有一个问题没有讲，就是我们说![20191212111544408.png][]的特征向量组成的就是我们SVD中的V矩阵，而![20191212112010559.png][]的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵，这有什么根据吗？这个其实很容易证明，我们以V矩阵的证明为例。

![20191212112239133.png][]

上式证明使用了:![20191212112345966.png][]。可以看出![20191212111544408.png][]的特征向量组成的的确就是我们SVD中的V矩阵。类似的方法可以得到![20191212112010559.png][]的特征向量组成的就是我们SVD中的U矩阵。

进一步我们还可以看出我们的特征值矩阵等于奇异值矩阵的平方，也就是说特征值和奇异值满足如下关系：

![20191212112433263.png][]

这样也就是说，我们可以不用![2019121211245824.png][]来计算奇异值，也可以通过求出![20191212111544408.png][]的特征值取平方根来求奇异值。

SVD实例计算：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU3NTAyMA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU3NTAyMA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

SVD的一些性质：

我们可能会有疑问，既然这么麻烦，那为什么要用到这个呢？，接下来就看一下SVD到底有哪些优势。

对于奇异值,它跟我们特征分解中的特征值类似，在奇异值矩阵中也是按照从大到小排列，而且奇异值的减少特别的快，在很多情况下，前10%甚至1%的奇异值的和就占了全部的奇异值之和的99%以上的比例。也就是说，我们也可以用最大的k个的奇异值和对应的左右奇异向量来近似描述矩阵。也就是说：

![20191212113702579.png][]

其中k要比n小很多，也就是一个大的矩阵A可以用三个小的矩阵![20191212113748435.png][]来表示。如下图所示，现在我们的矩阵A只需要灰色的部分的三个小矩阵就可以近似描述了。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjU3NTAyMA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

由于这个重要的性质，SVD可以用于PCA降维，来做数据压缩和去噪。也可以用于推荐算法，将用户和喜好对应的矩阵做特征分解，进而得到隐含的用户需求来做推荐。

[A]: https://private.codecogs.com/gif.latex?A
[x]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x
[lambda]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda
[1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?_%7B1%7D
[2]: https://private.codecogs.com/gif.latex?_%7B2%7D
[n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?_%7Bn%7D
[w_Sigma w_-1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?w%5CSigma%20w%5E%7B-1%7D
[i]: https://private.codecogs.com/gif.latex?_%7Bi%7D
[20191212110735603.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20191212110735603.png
[20191212110827178.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20191212110827178.png
[20191212110919287.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20191212110919287.png
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