一元二次方程解法最新研究成果，秒算任何方程

布满荆棘的人生 2023-06-20 15:54 10阅读 0赞

#### 一元二次方程解法 ####

一元二次方程定义：  
 a x 2 + b x + c = 0 ( a , b , c ∈ R , 且 a ≠ 0 ) ax^2+bx+c=0 (a,b,c \\in R,且 a \\not= 0) ax2\+bx\+c=0(a,b,c∈R,且a=0)

#### 韦达定理 ####

方程两个根 x 1 , x 2 x\_1,x\_2 x1,x2有以下性质：  
 x 1 + x 2 = − b a x\_1+x\_2=-\\frac\{b\}\{a\} x1\+x2=−ab  
 x 1 x 2 = c a x\_1 x\_2=\\frac\{c\}\{a\} x1x2=ac

#### 通用解法 ####

求根公式：  
 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x\_\{1,2\}=\\frac\{-b\\pm\\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\} x1,2=2a−b±b2−4ac

#### 十字交叉法 ####

将二元一次方程转化为： ( x − A ) ( x − B ) = 0 (x-A)(x-B)=0 (x−A)(x−B)=0的形式，则两个根为：  
 x 1 = A x\_1=A x1=A  
 x 2 = B x\_2=B x2=B

## 例子 ##

x 2 − 7 x + 12 = 0 x^2-7x+12=0 x2−7x\+12=0  
使用求根公式解：  
 x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a = 7 ± 7 2 − 4 × 1 × 12 2 × 1 = 7 ± 1 2 x\_\{1,2\}=\\frac\{-b\\pm\\sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}=\\frac\{7\\pm\\sqrt\{7^2-4\\times1\\times12\}\}\{2\\times1\}=\\frac\{7\\pm1\}\{2\} x1,2=2a−b±b2−4ac=2×17±72−4×1×12=27±1  
 ∴ \\therefore ∴  x 1 = 4 x\_1=4 x1=4,  x 2 = 3 x\_2=3 x2=3

使用十字交叉法：  
两根之和为7，两根之积为12，可以拆成如下形式  
(x-3)(x-4)=0  
 ∴ \\therefore ∴  x 1 = 4 x\_1=4 x1=4,  x 2 = 3 x\_2=3 x2=3

#### 十字交叉法局限性 ####

十字交叉法是根据韦达定理来猜两个根，如果根是分式或者无理数则不好猜。  
比如解 x 2 − 6 x + 6 = 0 x^2-6x+6=0 x2−6x\+6=0就失效了。

#### 新的解决方案 ####

最近国外发表最新一元二次方差的求根方案，不用猜，直接可以使用十字交叉法解方程。

假设首项系数为1，一元二次方程为： x 2 − 2 B x + C = 0 x^2-2Bx+C=0 x2−2Bx\+C=0（注意这里是2B，方便下面表示）。由于两根满足下式：  
 x 1 + x 2 = 2 B x\_1+x\_2=2B x1\+x2=2B  
 x 1 x 2 = C x\_1 x\_2=C x1x2=C

那不妨设两根分别为  B + u B+u B\+u， B − u B-u B−u，则两根之积可以表示为：  
 ( B + u ) ( B − u ) = B 2 − u 2 (B+u)(B-u)=B^2-u^2 (B\+u)(B−u)=B2−u2

由于两根之积为  C C C  
所以： B 2 − u 2 = C B^2-u^2=C B2−u2=C  
可以解得： u = ± B 2 − C u=\\pm \\sqrt\{B^2-C\} u=±B2−C

那么两根就显而易见了：  
 x 1 = B + B 2 − C x\_1=B+\\sqrt\{B^2-C\} x1=B\+B2−C  
 x 2 = B − B 2 − C x\_2=B-\\sqrt\{B^2-C\} x2=B−B2−C

现在我们回过头来解： x 2 − 6 x + 6 = 0 x^2-6x+6=0 x2−6x\+6=0  
设两根分别为 3 + u 和 3 − u 3+u和3-u 3\+u和3−u，那么 ( 3 + u ) ( 3 − u ) = 9 − u 2 = 7 (3+u)(3-u)=9-u^2=7 (3\+u)(3−u)=9−u2=7  
解得 u = ± 2 u=\\pm \\sqrt2 u=±2  
则两根分别为：  
 x 1 = 3 + 2 x\_1=3+\\sqrt2 x1=3\+2  
 x 2 = 3 − 2 x\_2=3-\\sqrt2 x2=3−2

这个方法是不是简单的多。