幂等矩阵的理解

小咪咪 2023-06-20 09:18 30阅读 0赞

##### 一.幂等矩阵的定义 #####

若对于方阵A存在如下关系： A A = A AA=A AA=A，则称A为一个幂等矩阵

##### 二.一些常见的幂等矩阵 #####

1.单位矩阵 I I I

2.某一行全为1，其余行全为0的矩阵 A A A  
(证明：设 A A A的第 m m m行全为1，其余行全为0。 B = A ∗ A B=A\*A B=A∗A，可知 b i j = ∑ k = 1 n a i k a k j b\_\{ij\}=\{\\textstyle\\sum\_\{k=1\}^n\}a\_\{ik\}a\_\{kj\} bij=∑k=1naikakj，只有当 i = m i=m i=m时， ∑ k = 1 n a i k a k j = 1 \{\\textstyle\\sum\_\{k=1\}^n\}a\_\{ik\}a\_\{kj\}=1 ∑k=1naikakj=1,则 b m j = 1 b\_\{mj\}=1 bmj=1，否则为0,所以 B B B矩阵第 m m m行全为1，其余行全为0。所以 B = A ∗ A = A B=A\*A=A B=A∗A=A)

3.用于计算离差的矩阵 M 0 = ( I − 1 n i i ′ ) M\_\{0\}=(I-\\frac1nii') M0=(I−n1ii′).  
其中 I I I为单位阵， i i i为元素全为1的列向量， i ′ i' i′为元素全为1的行向量， M 0 x M\_\{0\}x M0x为向量 x x x的离差形式。  
(证明： M 0 ∗ M 0 ∗ = ( I − 1 n i i ′ ) ∗ ( I − 1 n i i ′ ) = I − 2 1 n i i ′ + 1 n 2 i ( i ′ i ) i ′ M\_\{0\}\*M\_\{0\}\*=(I-\\frac1nii')\*(I-\\frac1nii')=I-2\\frac1nii'+\\frac1\{n^2\}i(i'i)i' M0∗M0∗=(I−n1ii′)∗(I−n1ii′)=I−2n1ii′\+n21i(i′i)i′，因为 i ′ i = n i'i=n i′i=n，所以 M 0 ∗ M 0 M\_\{0\}\*M\_\{0\} M0∗M0= ( I − 1 n i i ′ ) ∗ ( I − 1 n i i ′ ) = I − 2 1 n i i ′ + 1 n i i ′ = M 0 (I-\\frac1nii')\*(I-\\frac1nii')=I-2\\frac1nii'+\\frac1nii'=M\_\{0\} (I−n1ii′)∗(I−n1ii′)=I−2n1ii′\+n1ii′=M0)

##### 三.幂等矩阵性质 #####

1.幂等矩阵的特征值只能为0和1。  
(证明思路：因为为幂等矩阵所以推出 λ k = λ \\lambda^k=\\lambda λk=λ，所以 λ \\lambda λ只能为0,1)

2.幂等矩阵可对角化。  
（证明思路： A A A为幂等矩阵, C C C为其特征向量矩阵， Λ \\Lambda Λ为对角线为特征值的矩阵，则 A A A的对角化为 C ′ A C = C ′ C Λ = Λ C'AC=C'C\\Lambda=\\Lambda C′AC=C′CΛ=Λ）

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即 t r ( A ) tr(A) tr(A)= r a n k ( A ) rank(A) rank(A)。  
(证明思路：将 A A A对角化为 Λ \\Lambda Λ,因为 λ \\lambda λ只能为0,1，所以对于 A A A有： t r ( A ) = t r ( Λ ) = tr(A)=tr(\\Lambda)= tr(A)=tr(Λ)=对角线为1的元素和=不全为0的行 = r a n k ( Λ ) = r a n k ( A ) =rank(\\Lambda)=rank(A) =rank(Λ)=rank(A))

4.可逆的幂等矩阵为 I I I  
（证明思路，可逆一定满秩，满秩说明所有特征值为1，此时为单位阵 I I I）

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵

。。。

##### 四.关于幂等矩阵的理解 #####

幂等的思想在数学和工程中都是经常使用的思想。  
将矩阵 A A A作用于向量 x x x上，相当于对 x x x进行了一次变换。可以记为 A x = f ( x ) Ax=f(x) Ax=f(x)。此时所A为幂等矩阵，则 A A x = A x AAx=Ax AAx=Ax，进一步有 f ( f ( x ) ) = f ( x ) f(f(x))=f(x) f(f(x))=f(x)，说明此时对 x x x进行多次变换与进行一次变换的效果是一样的。  
这样的思想在开发工程中也经常使用，工程中的幂等，说的是对用户的输入进行重复多次计算，仍与计算一次的结果是相同的，这避免了数据重复计算时带来的弊端，确保了工程的正确性与稳定性。