维纳滤波的学习笔记

客官°小女子只卖身不卖艺 2023-06-19 15:26 9阅读 0赞

# 1、introduction: #

从连续的(或离散的)输入数据中滤除噪声和干扰以提取有用信息的过程称为滤波，而相应的装置称为滤波器。 根据滤波器的输出是否为输入的线性函数，可将它分为线性滤波器和非线性滤波器两种。 滤波器研究的一个基本课题就是：如何设计和制造最佳的或最优的滤波器。

所谓最佳滤波器是指能够根据某一最佳准则进行滤波的滤波器。 20世纪40年代，维纳奠定了关于最佳滤波器研究的基础：即假定线性滤波器的输入为有用信号和噪声之和，两者均为广义平稳过程且知它们的二阶统计特性。 维纳根据最小均方误差准则**(滤波器的输出信号与需要信号之差的均方值最小)**，求得了最佳线性滤波器的参数，这种滤波器被称为维纳滤波器。

在维纳研究的基础上，人们还根据最大输出信噪比准则、统计检测准则以及其他最佳准则求得的最佳线性滤波器。 实际上，在一定条件下，这些最佳滤波器与维纳滤波器是等价的。因而，讨论线性滤波器时，一般均以维纳滤波器作为参考。

这是信号处理中经常采用的主要方法之一，具有十分重要的应用价值。常用的滤波器是采用电感、电容等分立元件构成，如RC低通滤波器、LC谐振回路等。但对于混在随机信号中的噪声滤波，这些简单的电路就不是最佳滤波器，这是因为信号与噪声均可能具有连续的功率谱。不管滤波器具有什么样的频率响应，均不可能做到噪声完全滤掉，信号波形的不失真。因此，需要寻找一种使误差最小的最滤波方法，又称为最佳滤波准则。

从噪声中提取信号波形的各种估计方法中，维纳（Wiener）滤波是一种最基本的方法，适用于需要从噪声中分离出的有用信号是整个信号（波形），而不只是它的几个参量。其基本依据就是最小均方误差准则。

设维纳滤波器的输入为含噪声的随机信号。期望输出与实际输出之间的差值为误差，对该误差求均方，即为**均方误差**。因此**均方误差**越小，噪声滤除效果就越好。

为使均方误差最小，关键在于求冲激响应。如果能够满足维纳－霍夫方程，就可使维纳滤波器达到最佳。根据维纳－霍夫方程，最佳维纳滤波器的冲激响应，完全由输入自相关函数以及输入与期望输出的互相关函数 所决定。

与设计一个特定[频率响应][Link 1]所用的通常滤波器设计理论不同，维纳滤波器从另外一个不同的角度实现滤波器。仅仅在[频域][Link 2]进行滤波的滤波器，仍然会有噪声通过滤波器。维纳设计方法需要额外的关于原始信号所包含频谱以及噪声的信息，维纳滤波器具有以下一些特点\[2\]：

1.  假设：信号以及附加噪声都是已知频谱特性或者[自相关][Link 3]和[互相关][Link 4]的[随机过程][Link 5]
2.  性能标准：[最小均方差][Link 6]
3.  能够用标量的方法找到最优滤波器

维纳滤波器的设计目的是就是滤除按照[统计][Link 7]方式干扰信号的[噪声][Link 8]。

参考：[自适应滤波器：维纳滤波器、卡尔曼滤波器][Link 9]

[维纳滤波原理（Wiener Filter）][Wiener Filter]

[维纳滤波的应用 — 自适应LMS][_ _LMS]

[Link 1]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A2%91%E7%8E%87%E5%93%8D%E5%BA%94
[Link 2]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%A2%91%E5%9F%9F
[Link 3]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%9B%B8%E5%85%B3
[Link 4]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%92%E7%9B%B8%E5%85%B3
[Link 5]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%BF%87%E7%A8%8B
[Link 6]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%9D%87%E6%96%B9%E5%B7%AE
[Link 7]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1
[Link 8]: https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%99%AA%E5%A3%B0
[Link 9]: http://www.suanfajun.com/%E8%87%AA%E9%80%82%E5%BA%94%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8%EF%BC%9A%E7%BB%B4%E7%BA%B3%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8%E3%80%81%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2%E5%99%A8.html
[Wiener Filter]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/20850601
[_ _LMS]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/20860719?refer=acousticsss