机器学习第二周

清疚 2023-06-16 02:24 11阅读 0赞

### 机器学习第二周 ###

*  这一周有其他重要的事情处理，学习进度拉慢了，值得庆幸的是学习的脚步未停下
 *  本文转自：https://blog.csdn.net/c406495762/article/details/77341116他的一系列文章都很值得看！
 *  本周还发现了好文  
    https://www.zhihu.com/question/21874816/answer/181864044  
    马同学的知乎的文章也值得一看，还包括了里面的从高斯消元法到矩阵乘法”、“如何理解矩阵乘法？”以及“相似矩阵是什么？”
 *  \-还有老马公众号里面的矩阵论
 *  学习感悟：概率论和线性代数的高分一定是假的，为什么我这周掉发那么严重？？  
    一 前言

朴素贝叶斯算法是有监督的学习算法，解决的是分类问题，如客户是否流失、是否值得投资、信用等级评定等多分类问题。该算法的优点在于简单易懂、学习效率高、在某些领域的分类问题中能够与决策树、神经网络相媲美。但由于该算法以自变量之间的独立（条件特征独立）性和连续变量的正态性假设为前提，就会导致算法精度在某种程度上受影响。

二 朴素贝叶斯理论

朴素贝叶斯是贝叶斯决策理论的一部分，所以在讲述朴素贝叶斯之前有必要快速了解一下贝叶斯决策理论。

前言1 贝叶斯决策理论

假设现在我们有一个数据集，它由两类数据组成，数据分布如下图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

我们现在用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于类别1(图中红色圆点表示的类别)的概率，用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于类别2(图中蓝色三角形表示的类别)的概率，那么对于一个新数据点(x,y)，可以用下面的规则来判断它的类别：

*  如果p1(x,y) > p2(x,y)，那么类别为1
 *  如果p1(x,y) < p2(x,y)，那么类别为2  
    也就是说，我们会选择高概率对应的类别。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。已经了解了贝叶斯决策理论的核心思想，那么接下来，就是学习如何计算p1和p2概率。

2 条件概率

在学习计算p1和p2概率之前，我们需要了解什么是条件概率(Condittional probability)，就是指在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，用P(A|B)来表示。

根据文氏图，可以很清楚地看到在事件B发生的情况下，事件A发生的概率就是P(A∩B)除以P(B)。  
![在这里插入图片描述][20191123211109611.png]

因此，

![在这里插入图片描述][20191123211116299.png]

同理可得，

![在这里插入图片描述][2019112321112288.png]  
所以，

![在这里插入图片描述][20191123211126137.png]  
即  
![在这里插入图片描述][20191123211130969.png]

这就是条件概率的计算公式。

3 全概率公式

除了条件概率以外，在计算p1和p2的时候，还要用到全概率公式，因此，这里继续推导全概率公式。
    
    假定样本空间S，是两个事件A与A’的和。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
上图中，红色部分是事件A，绿色部分是事件A’，它们共同构成了样本空间S。

在这种情况下，事件B可以划分成两个部分。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
即

![在这里插入图片描述][20191123211203375.png]  
在上一节的推导当中，我们已知  
![在这里插入图片描述][20191123211207920.png]

所以，

![在这里插入图片描述][2019112321120972.png]  
这就是全概率公式。它的含义是，如果A和A’构成样本空间的一个划分，那么事件B的概率，就等于A和A’的概率分别乘以B对这两个事件的条件概率之和。  
![在这里插入图片描述][2019112321121788.png]  
将这个公式代入上一节的条件概率公式，就得到了条件概率的另一种写法：

![在这里插入图片描述][20191123211221891.png]  
4 贝叶斯推断

对条件概率公式进行变形，可以得到如下形式：
    
    
    我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。
    
    P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。
    
    P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。
    
    所以，条件概率可以理解成下面的式子：

后验概率　＝　先验概率 ｘ 调整因子  
1  
这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。
    
    为了加深对贝叶斯推断的理解，我们一个例子。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
两个一模一样的碗，一号碗有30颗水果糖和10颗巧克力糖，二号碗有水果糖和巧克力糖各20颗。现在随机选择一个碗，从中摸出一颗糖，发现是水果糖。请问这颗水果糖来自一号碗的概率有多大？

我们假定，H1表示一号碗，H2表示二号碗。由于这两个碗是一样的，所以P(H1)=P(H2)，也就是说，在取出水果糖之前，这两个碗被选中的概率相同。因此，P(H1)=0.5，我们把这个概率就叫做"先验概率"，即没有做实验之前，来自一号碗的概率是0.5。
    
    再假定，E表示水果糖，所以问题就变成了在已知E的情况下，来自一号碗的概率有多大，即求P(H1|E)。我们把这个概率叫做"后验概率"，即在E事件发生之后，对P(H1)的修正。
    
    根据条件概率公式，得到

![在这里插入图片描述][20191123211243803.png]  
已知，P(H1)等于0.5，P(E|H1)为一号碗中取出水果糖的概率，等于30÷(30+10)=0.75，那么求出P(E)就可以得到答案。根据全概率公式，

![在这里插入图片描述][20191123211249255.png]  
所以，

![在这里插入图片描述][20191123211253573.png]  
将数字代入原方程，得到  
![在这里插入图片描述][20191123211257535.png]

这表明，来自一号碗的概率是0.6。也就是说，取出水果糖之后，H1事件的可能性得到了增强。
    
    同时再思考一个问题，在使用该算法的时候，如果不需要知道具体的类别概率，即上面P(H1|E)=0.6，只需要知道所属类别，即来自一号碗，我们有必要计算P(E)这个全概率吗？要知道我们只需要比较 P(H1|E)和P(H2|E)的大小，找到那个最大的概率就可以。既然如此，两者的分母都是相同的，那我们只需要比较分子即可。即比较P(E|H1)P(H1)和P(E|H2)P(H2)的大小，所以为了减少计算量，全概率公式在实际编程中可以不使用。

5 朴素贝叶斯推断

理解了贝叶斯推断，那么让我们继续看看朴素贝叶斯。贝叶斯和朴素贝叶斯的概念是不同的，区别就在于“朴素”二字，朴素贝叶斯对条件个概率分布做了条件独立性的假设。 比如下面的公式，假设有n个特征：  
![在这里插入图片描述][20191123211448496.png]

由于每个特征都是独立的，我们可以进一步拆分公式

![在这里插入图片描述][20191123211455649.png]  
这样我们就可以进行计算了。如果有些迷糊，让我们从一个例子开始讲起，你会看到贝叶斯分类器很好懂，一点都不难。

某个医院早上来了六个门诊的病人，他们的情况如下表所示：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？

根据贝叶斯定理：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NTc3NTI0Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

可得：  
![在这里插入图片描述][20191123211550516.png]

根据朴素贝叶斯条件独立性的假设可知，"打喷嚏"和"建筑工人"这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了  
![在这里插入图片描述][20191123211558832.png]

这里可以计算：  
![在这里插入图片描述][20191123211607487.png]

因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

同样，在编程的时候，如果不需要求出所属类别的具体概率，P(打喷嚏) = 0.5和P(建筑工人) = 0.33的概率是可以不用求的。

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