关于齐次坐标的理解

旧城等待， 2023-06-08 12:59 17阅读 0赞

问题：两条平行线可以相交于一点  
在欧氏几何空间，同一平面的两条平行线不能相交，这是我们都熟悉的一种场景。  
然而，在透视空间里面，两条平行线可以相交，例如：火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点。  
  
欧氏空间（或者笛卡尔空间）描述2D/3D几何非常适合，但是这种方法却不适合处理透视空间的问题（实际上，欧氏几何是透视几何的一个子集合），2维笛卡尔坐标可以表示为（x,y）。  
  
如果一个点在无穷远处，这个点的坐标将会(∞,∞)，在欧氏空间，这变得没有意义。平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能，数学家发现了一种方式来解决这个问题。  
  
方法：齐次坐标  
简而言之，齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标  
  
我们可以在一个2D笛卡尔坐标末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标，因此，一个点(X,Y)在齐次坐标里面变成了（x,y,w），并且有

X = x/w

Y = y/w

例如，笛卡尔坐标系下（1，2）的齐次坐标可以表示为（1，2，1），如果点（1，2）移动到无限远处，在笛卡尔坐标下它变为(∞,∞)，然后它的齐次坐标表示为（1，2，0），因为(1/0, 2/0) = (∞,∞)，我们可以不用”∞"来表示一个无穷远处的点了，哈哈。  
  
为什么叫齐次坐标？

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。

![20150313191305739][]

转化齐次坐标到笛卡尔坐标的过程中，我们有一个发现，例如：

![20150313191413637][]

你会发现(1, 2, 3), (2, 4, 6) 和(4, 8, 12)对应同一个Euclidean point (1/3, 2/3)，任何标量的乘积，例如(1a, 2a, 3a) 对应 笛卡尔空间里面的(1/3, 2/3) 。因此，这些点是“齐次的”，因为他们代表了笛卡尔坐标系里面的同一个点。换句话说，齐次坐标有规模不变性。  
  
证明：两条直线可以相交  
  
考虑如下方程组：

![20150313191240888][]  
  
  
我们知道在笛卡尔坐标系里面，该方程组无解，因为C ≠ D,如果C=D,两条直线就相同了。  
  
让我们在透视空间里面，用齐次坐标x/w, y/w代替x ,y,

![20150313191336679][]  
  
  
现在我们有一个解(x, y, 0)，两条直线相交于(x, y, 0)，这个点在无穷远处。  
  
小结：齐次坐标在图形学中是一个非常基础的概念，例如3D场景映射到2D场景的过程中

参考： http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html

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