RPG难题，给n格方格涂三种颜色

墨蓝 2023-06-03 14:53 13阅读 0赞

有排成一行的ｎ个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色．求全部的满足要求的涂法

1、递归算法

我们先不管第一格到第三格怎么涂色，我们先考虑倒数第2格，也就是第n-1格怎么涂色？

根据题意，

A、如果这个方格的颜色和第一个方格的颜色不同，那么第n个方格就只有1种选择（因为首尾两格也不同色），所以之前n-1个方格的涂色方法为paint(n-1)，此时n个方格的涂色方法总数为paint(n-1)\*1；（将第n个方格和之前的方格分成两部分）

B、如果这个方格的颜色和第一个方格的颜色相同，那么第n个方格就有2种选择，所以之前n-1个方格的涂色方法为paint（n-2）（为什么是n-2呢？是因为前提是——“n-1的方格颜色已与第1个方格的颜色一致，第1个是什么颜色，第n-1方格就是什么颜色”，所以n-1方格的颜色不需要考虑，所以函数里传的参数是n-2）。所以，在本情况下，n个方格的涂色方法总数为2\*paint（n-2）。

上述的A、B是思考方式上的分类，说白了就是初中数学（中考最后一题）中要掌握的分类讨论思想---“要想解对题，此题的所有情况都要列出”，而不是我们C语言中，不是if就是else的互斥情况。

综上，解决涂色问题的表达式是：方法总数=paint（n-1）\*1+2\*paint（n-2）

int paint(int n)
    {
        if (n == 1)
            return 3;
        else if (n == 2 || n == 3)
            return 6;
        else
            return paint(n - 1) + 2 * paint(n - 2);
        //n-1格与第一个涂色不同(paint(n-1)) n-1格与第一格涂色相同 paint(n-2)*2
    }

2、动态规划

#include <iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
        int n;
        long long dp[51];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 3;
        dp[2] = 6;
        dp[3] = 6;
    
        for (int i = 4; i <= 50; i++)
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + 2 * dp[i - 2];
        }
        cin >> n;
        cout << dp[n];
        return 0;
    }

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