@hdu - 6588@ Function

川长思鸟来 2023-06-01 13:59 24阅读 0赞

*  @description@
 *  @solution@
 *  @accepted code@
 *  @details@

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## @description@ ##

给定 n，求：  
\\\[\\sum\_\{i=1\}^\{n\}gcd(\\lfloor^3\\sqrt\{i\}\\rfloor, i)\\mod 998244353\\\]

**Input**  
第一行包含一个整数 T(1≤T≤11) 描述数据组数。  
接下来 T 行，每行一个整数 n (1≤n≤10^21) 描述询问。

**Output**  
对于每组询问，输出答案 mod 998244353。

**Sample Input**  
10  
64  
180  
526  
267  
775  
649  
749  
908  
300  
255  
**Sample Output**  
103  
327  
1069  
522  
1693  
1379  
1631  
1998  
606  
492

## @solution@ ##

考虑 \\(\\lfloor^3\\sqrt\{n\}\\rfloor\\) 其实只有 10^7 种取值，令 \\(x =\\lfloor^3\\sqrt\{n\}\\rfloor\\)，我们的问题其实是在求：  
\\\[ans=\\sum\_\{i=1\}^\{x-1\}\\sum\_\{j=i^3\}^\{(i+1)^3-1\}gcd(i, j) + \\sum\_\{j=x^3\}^\{n\}gcd(x, j)\\\]

我们现在考虑怎么求 \\(f(n, i)=\\sum\_\{j=1\}^\{n\}gcd(i, j)\\)，然后用前缀和相减的方法搞一搞。  
考虑一波反演变成 \\(f(n, i)=\\sum\_\{p|i\}\\sum\_\{d|p\}\\lfloor\\frac\{n\}\{p\}\\rfloor\*\\mu(\\frac\{p\}\{d\})\*d\\)。

注意到 \\(i|i^3, i|(i+1)^3-1\\)，放在上式相当于 \\(n=i^3 或 (i+1)^3-1\\)，于是可以得到 \\(p|n\\)。  
由此，考虑对式子进行进一步地变形，得到 \\(f(n, i)=n\*\\sum\_\{p|i\}\\sum\_\{d|p\}\\frac\{d\}\{p\}\*\\mu(\\frac\{p\}\{d\})\\)。

令整数 \\(a = \\frac\{p\}\{d\}\\)。考虑对于某个 i，一共有 \\(d(\\frac\{i\}\{a\})\\) 对 (p, d) 满足 \\(a = \\frac\{p\}\{d\}\\)。  
所以得到 \\(f(n, i)=n\*\\sum\_\{a|i\}\\frac\{\\mu(a)\}\{a\}\*d(\\frac\{i\}\{a\})\\)。  
然后后面那个 \\(\\sum\_\{a|i\}\\frac\{\\mu(a)\}\{a\}\*d(\\frac\{i\}\{a\})\\) 显然是个积性函数，筛一筛就好了，不妨令为 g(i)。

现在答案的表达式变为：  
\\\[ans=\\sum\_\{i=1\}^\{x-1\}(((i+1)^3-1)\*g(i) - i^3\*g(i) + gcd(i, i^3)) + \\sum\_\{j=1\}^\{n\}gcd(x, j) - g(x)\*x^3 + gcd(x, x^3)\\\]

因为 gcd(i, i^3) = i，所以只需要一个等差数列求和公式套上去就可以解决这些项了。那些与 n 无关的项可以直接预处理。

现在只剩下 \\(\\sum\_\{j=1\}^\{n\}gcd(x, j)\\) 这一项需要求解。因为 \\(x | n\\) 不一定成立，所以上面的推导不一定成立。  
考虑回到最初的反演式：\\(\\sum\_\{j=1\}^\{n\}gcd(x, j) = \\sum\_\{p|x\}\\sum\_\{d|p\}\\lfloor\\frac\{n\}\{p\}\\rfloor\*\\mu(\\frac\{p\}\{d\})\*d\\)  
假如枚举出 p，那么剩下的 \\(\\sum\_\{d|p\}\\mu(\\frac\{p\}\{d\})\*d\\) 就又是个积性函数了，筛就完事儿了。

最后只需要枚举因数，因此复杂度是 \\(O(10^7 + \\sqrt\{10^7\}\*T)\\)。好像比正解要优秀些？

## @accepted code@ ##

#include<cstdio> const int MAXN = int(1E7); const int MOD = 998244353; template <class T> void read(T &x) { static char ch;static bool neg; for(ch=neg=0;ch<'0' || '9'<ch;neg|=ch=='-',ch=getchar()); for(x=0;'0'<=ch && ch<='9';(x*=10)+=ch-'0',ch=getchar()); x=neg?-x:x; } int pow_mod(int b, int p) { int ret = 1; while( p ) { if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD; b = 1LL*b*b%MOD; p >>= 1; } return ret; } int club(__int128 x) { int l = 1, r = int(1E7); while( l < r ) { int mid = (l + r + 1) >>1; __int128 y = mid; if( y*y*y <= x ) l = mid; else r = mid - 1; } return l; } int inv[MAXN + 5], f[MAXN + 5], g[MAXN + 5], h[MAXN + 5]; int prm[MAXN + 5], low[MAXN + 5], pcnt = 0; int gcd(int a, int b) { return (b == 0) ? a : gcd(b, a%b); } void init() { inv[1] = 1; for(int i=2;i<=MAXN;i++) inv[i] = MOD - 1LL*inv[MOD%i]*(MOD/i)%MOD; low[1] = f[1] = g[1] = 1; for(int i=2;i<=MAXN;i++) { if( !low[i] ) { low[i] = i, prm[++pcnt] = i; f[i] = (2 + MOD - inv[i])%MOD; g[i] = (i - 1)%MOD; long long p = 1LL*i*i; for(int j=2;p<=MAXN;p*=i,j++) low[p] = p, f[p] = (j + 1 + (MOD - 1LL*inv[i]*j%MOD))%MOD, g[p] = p/i*(i-1); } for(int j=1;1LL*i*prm[j]<=MAXN;j++) { if( i % prm[j] == 0 ) { if( i != low[i] ) { low[i*prm[j]] = low[i]*prm[j]; f[i*prm[j]] = 1LL*f[i/low[i]]*f[prm[j]*low[i]]%MOD; g[i*prm[j]] = 1LL*g[i/low[i]]*g[prm[j]*low[i]]%MOD; } break; } else { low[i*prm[j]] = prm[j]; f[i*prm[j]] = 1LL*f[i]*f[prm[j]]%MOD; g[i*prm[j]] = 1LL*g[i]*g[prm[j]]%MOD; } } } for(int i=1;i<=MAXN;i++) { int tmp = (1LL*(i+1)*(i+1)%MOD*(i+1)%MOD + MOD - 1)%MOD; h[i] = 1LL*f[i]*tmp%MOD; h[i] = (h[i-1] + h[i])%MOD; tmp = 1LL*i*i%MOD*i%MOD; f[i] = 1LL*f[i]*tmp%MOD; f[i] = (f[i-1] + f[i])%MOD; } } int main() { init(); int T; scanf("%d", &T); while( T-- ) { __int128 n; read(n); int p = club(n), ans = 1LL*p*(p+1)%MOD*inv[2]%MOD; for(int i=1;i*i<=p;i++) { if( p % i == 0 ) { ans = (ans + 1LL*g[i]*((n/i)%MOD)%MOD)%MOD; if( i*i != p ) ans = (ans + 1LL*g[p/i]*((n/(p/i))%MOD)%MOD)%MOD; } } ans = (ans + MOD - f[p])%MOD; printf("%d\n", (ans + h[p-1])%MOD); } }

## @details@ ##

因为怕 \_\_int128 没办法用 cmath 里的 pow 函数，所以自己手写了个二分（居然没有问题）。

考场上因为某个地方的 n/i 写成了 n/(p/i)，没有调出来然后 GG 了。考后 debug 一会儿就出来了 QAQ。。。

转载于:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/11304899.html