@codechef - TREEPATH@ Decompose the Tree

分手后的思念是犯贱 2023-06-01 13:57 6阅读 0赞

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 *  @solution@
 *  @accepted code@
 *  @details@

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## @description@ ##

给定一棵无根树，每个节点上都写了一个整数。  
你的任务就是统计有多少种方法可以将这棵树分解为若干条路径，使得每个节点恰好属于一条路径，而且每条路径的节点上的数字之和非负。

**输入格式**  
输入数据第一行包含一个整数 T，表示数据组数。  
接下来是 T 组数据。 每组数据的第一行包含一个整数 N，代表树中结点个数。  
接下来一行包含 N 个整数，由空格分隔，代表每个节点上写的数字。  
接下来 N −1 行，每行包含两个整数 Xj 和 Yj，代表编号为 Xj 和 Yj 的节点之间有边直接相连。

**输出格式**  
对于每组数据，输出一行，包含一个整数，即为将树分解的方案数对 10^9 +7 取模得到的结果。

**数据范围与子任务**  
• 1 ≤ T ≤ 10^5  
• 1 ≤ Xj,Yj ≤ N

**样例数据**  
**输入**  
1 4  
1 10 5 -1  
1 2  
1 3  
2 4  
**输出**  
4

**样例解释**  
一共有 4 种分解方法：  
• 整棵树即为一条路径，其和为 1 + 10 + 5 + (−1) = 15；  
• 一条路径包含节点 2 和 4，其和为 10 + (−1) = 9；另一条路径包含节点 1 和 3，其和为 1 + 5 = 6；  
• 一条路径包含节点1、2和4，其和为 1+10+(−1) = 10；另一条路径包含节点3，其和为 5；  
• 第一条路径包含节点 2 和 4，其和为 10 + (−1) = 9；第二条路径包含节点 1，其和为 1；第 三条路径包含节点 3，其和为 3。

## @solution@ ##

首先可以想到一个朴素 dp：定义 dp\[x\] 表示分解 x 为根的子树的合法方案数。  
转移时枚举一条以 x 为 lca 的非零链，将链所有支出去的枝丫的 dp 值乘起来即可。  
这样子搞是 O(n^2)，考虑优化。

我们考虑可以使用启发式合并 + 平衡树来优化我们枚举链的过程。  
考虑处理完轻子树继承重子树，我们维护重子树中每个儿子向上爬到当前点的链权值和以及枝丫的 dp 值乘积。  
每次通过打 tag 给链权值和加上当前点的 val，方案数乘上轻子树的 dp 值乘积。

然后考虑处理轻子树。先统计链的一个端点在当前轻子树，另一个端点维护在平衡树里的情况。  
这个可以通过平衡树维护子树方案数之和 + 分裂成权值 < k 的与 >= k 的两棵平衡树，然后取 >= k 的平衡树的答案搞定。  
然后就把这棵轻子树里所有的链丢进平衡树里。

最后加入当前根，记得再在平衡树取出权值和 >= 0 的链的方案数（即链的端点为当前点的情况）。

看起来非常完美，然而有一个问题：万一 dp 值为 0（可能本身没有方案也可能方案数太多 mod 10^9 + 7 = 0），是不存在逆元的。  
当然解决方法很多，但是我选择最简单（最sb）的解决方法：判断它有多少的儿子的 dp 值为 0。  
如果多于 2 个显然就全部方案数都为 0，否则分类讨论一大堆，然后 WA 到怀疑人生。。。

## @accepted code@ ##

#include<cstdio> #include<queue> #include<cstdlib> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN = 100000; const int MOD = int(1E9) + 7; inline int add(int a, int b) {return (a + b)%MOD;} inline int mul(int a, int b) {return 1LL*a*b%MOD;} int pow_mod(int b, int p) { int ret = 1; while( p ) { if( p & 1 ) ret = 1LL*ret*b%MOD; b = 1LL*b*b%MOD; p >>= 1; } return ret; } struct edge{ edge *nxt; int to; }edges[2*MAXN + 5], *adj[MAXN + 5], *ecnt=&edges[0]; void addedge(int u, int v) { edge *p = (++ecnt); p->to = v, p->nxt = adj[u], adj[u] = p; p = (++ecnt); p->to = u, p->nxt = adj[v], adj[v] = p; } int siz[MAXN + 5], hvy[MAXN + 5]; void dfs1(int x, int f) { siz[x] = 1, hvy[x] = 0; for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; dfs1(p->to, x); siz[x] += siz[p->to]; if( siz[p->to] > siz[hvy[x]] ) hvy[x] = p->to; } } struct Treap{ struct node{ node *ch[2]; int key, cnt, sum; int tg1, tg2; unsigned int pri; }pl[MAXN + 5], *root, *NIL, *ncnt; typedef pair<node*, node*> Droot; Treap() { ncnt = root = NIL = &pl[0]; NIL->ch[0] = NIL->ch[1] = NIL; NIL->sum = 0; } unsigned int get_rand() { return (rand() << 16) | rand() ^ (rand() << 8); } node *newnode(int k, int c) { node *f = (++ncnt); f->ch[0] = f->ch[1] = NIL; f->pri = get_rand(), f->key = k, f->cnt = f->sum = c; f->tg1 = 0, f->tg2 = 1; return f; } void pushdown(node *x) { if( x->tg1 ) { if( x->ch[0] != NIL ) x->ch[0]->tg1 += x->tg1, x->ch[0]->key += x->tg1; if( x->ch[1] != NIL ) x->ch[1]->tg1 += x->tg1, x->ch[1]->key += x->tg1; x->tg1 = 0; } if( x->tg2 != 1 ) { if( x->ch[0] != NIL ) { x->ch[0]->tg2 = mul(x->ch[0]->tg2, x->tg2); x->ch[0]->cnt = mul(x->ch[0]->cnt, x->tg2); x->ch[0]->sum = mul(x->ch[0]->sum, x->tg2); } if( x->ch[1] != NIL ) { x->ch[1]->tg2 = mul(x->ch[1]->tg2, x->tg2); x->ch[1]->cnt = mul(x->ch[1]->cnt, x->tg2); x->ch[1]->sum = mul(x->ch[1]->sum, x->tg2); } x->tg2 = 1; } } void pushup(node *x) { x->sum = add(x->cnt, add(x->ch[0]->sum, x->ch[1]->sum)); } node *merge(node *rt1, node *rt2) { if( rt1 == NIL ) return rt2; if( rt2 == NIL ) return rt1; pushdown(rt1), pushdown(rt2); if( rt1->pri < rt2->pri ) { rt2->ch[0] = merge(rt1, rt2->ch[0]), pushup(rt2); return rt2; } else { rt1->ch[1] = merge(rt1->ch[1], rt2), pushup(rt1); return rt1; } } Droot split(node *rt, int k) { if( rt == NIL ) return make_pair(NIL, NIL); pushdown(rt); if( k <= rt->key ) { Droot tmp = split(rt->ch[0], k); rt->ch[0] = tmp.second; pushup(rt); return make_pair(tmp.first, rt); } else { Droot tmp = split(rt->ch[1], k); rt->ch[1] = tmp.first; pushup(rt); return make_pair(rt, tmp.second); } } void insert(node *x) { Droot tmp = split(root, x->key); root = merge(merge(tmp.first, x), tmp.second); } int query(int k) { Droot tmp = split(root, k); int ret = tmp.second->sum; root = merge(tmp.first, tmp.second); return ret; } void update1(int x) { if( root != NIL ) root->tg1 += x, root->key += x; } void update2(int x) { if( root != NIL ) root->tg2 = mul(root->tg2, x), root->cnt = mul(root->cnt, x), root->sum = mul(root->sum, x); } void init() { ncnt = root = NIL; } }T; int dp[MAXN + 5], spro[MAXN + 5], inv[MAXN + 5], pos[MAXN + 5], val[MAXN + 5]; int dfs3(int x, int f, int s, int k) { int ret = 0; if( !pos[x] ) ret = mul(T.query(-s), mul(k, spro[x])); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; if( pos[x] ) { if( pos[x] == p->to ) ret = add(ret, dfs3(p->to, x, s + val[p->to], mul(k, spro[x]))); } else ret = add(ret, dfs3(p->to, x, s + val[p->to], mul(k, mul(spro[x], inv[p->to])))); } return ret; } void dfs4(int x, int f, int s, int k) { if( !pos[x] ) T.insert(T.newnode(s, mul(k, spro[x]))); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; if( pos[x] ) { if( pos[x] == p->to ) dfs4(p->to, x, s + val[p->to], mul(k, spro[x])); } else dfs4(p->to, x, s + val[p->to], mul(k, mul(spro[x], inv[p->to]))); } } void update(int x, int y) { if( !dp[y] ) pos[x] = (pos[x] ? -1 : y); else spro[x] = mul(spro[x], dp[y]); } void dfs2(int x, int f, bool flag) { spro[x] = 1, pos[x] = 0, dp[x] = 0; if( !hvy[x] ) { inv[x] = dp[x] = (val[x] >= 0); if( flag ) T.insert(T.newnode(val[x], 1)); return ; } for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f || p->to == hvy[x] ) continue; dfs2(p->to, x, false), update(x, p->to); } dfs2(hvy[x], x, true), update(x, hvy[x]); T.update1(val[x]); if( !pos[x] ) { T.update2(mul(spro[x], inv[hvy[x]])); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f || p->to == hvy[x] ) continue; dp[x] = add(dp[x], dfs3(p->to, x, val[p->to], inv[p->to])); dfs4(p->to, x, val[x] + val[p->to], mul(spro[x], inv[p->to])); } T.insert(T.newnode(val[x], spro[x])); } else { if( pos[x] == hvy[x] ) { T.update2(spro[x]); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f || p->to == hvy[x] ) continue; dp[x] = add(dp[x], dfs3(p->to, x, val[p->to], inv[p->to])); } } else { if( pos[x] != -1 ) { dp[x] = add(dp[x], dfs3(pos[x], x, val[pos[x]], mul(spro[x], inv[hvy[x]]))); T.update2(0); dfs4(pos[x], x, val[x] + val[pos[x]], spro[x]); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f || p->to == hvy[x] || p->to == pos[x] ) continue; dp[x] = add(dp[x], dfs3(p->to, x, val[p->to], inv[p->to])); } } else { int cnt = 0; bool flag = false; for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; if( dp[p->to] == 0 ) { cnt++; if( p->to == hvy[x] ) flag = true; } } if( cnt == 2 ) { if( flag ) { T.update2(spro[x]); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; if( dp[p->to] == 0 && p->to != hvy[x] ) dp[x] = add(dp[x], dfs3(p->to, x, val[p->to], 1)); } } else { T.update2(0); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { if( p->to == f ) continue; if( dp[p->to] == 0 ) { if( !flag ) { dfs4(p->to, x, val[x] + val[p->to], spro[x]); flag = true; } else dp[x] = add(dp[x], dfs3(p->to, x, val[p->to], 1)); } } } } T.update2(0); } } } dp[x] = add(dp[x], T.query(0)), inv[x] = pow_mod(dp[x], MOD-2); if( !flag ) T.init(); } void solve() { int n; scanf("%d", &n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d", &val[i]), adj[i] = NULL; ecnt = &edges[0]; for(int i=1;i<n;i++) { int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); addedge(x, y); } int rt = T.get_rand() % n + 1; dfs1(rt, 0), dfs2(rt, 0, false); printf("%d\n", dp[rt]); } int main() { int t; scanf("%d", &t); srand(20041112^t); while( t-- ) solve(); }

## @details@ ##

好久没写非旋 treap 了（？写过吗），在 merge 的时候写成了按根的权值决定左右儿子关系。。。  
因为只有堆才满足根的权值最大，可以只比较根的权值。。。要是两棵平衡树根的权值一样不就炸了。。。  
正确写法是在 merge 时不考虑权值，在调用 merge 时保证两棵平衡树的相对大小关系即可。

转载于:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/11343615.html