高数——导数的意义

我会带着你远行 2023-05-31 15:26 39阅读 0赞

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f’（x0）或df（x0）/dx。

导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的**变化率**。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的**切线斜率**。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

**不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。**

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

**然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。**

对于可导的函数f(x)，xf’(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。

**寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。**

实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。

## 变化率 ##

## 切线斜率 ##

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