了解时间复杂度分析

淡淡的烟草味﹌ 2023-05-30 06:27 7阅读 0赞

以例子来说 更好的理解  
先了解一下大O表示法

int cal(int n) {
       int sum = 0;
       int i = 1;
       for (; i <= n; ++i) {
         sum = sum + i;
       }
       return sum;
     }

读数据-运算-写数据。尽管每行代码对应的 CPU 执行的个数、执行的时间都不一样，但是，我们这里只是粗略估计，所以可以假设每行代码执行的时间都一样。所以上述为(2+2n)\*time  
2是因为2行3行，2n是因为for循环n次 里面执行一次外面执行一次

再看下一个

int cal(int n) {
       int sum = 0;
       int i = 1;
       int j = 1;
       for (; i <= n; ++i) {
         j = 1;
         for (; j <= n; ++j) {
           sum = sum +  i * j;
         }
       }
     }

计算下来为（3+2n+2n^2）\*time  
规律：**所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比**。

## 时间复杂度分析 ##

**1.只关注循环次数最多的一段代码**

我们在分析一个算法、一段代码的时间复杂度的时候，也只关注循环执行次数最多的那一段代码就可以了。  
所以刚才第一个例子用大O表示法九尾O（n）

**2.加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度**

可以分析一下下述的代码

int cal(int n) {
       int sum_1 = 0;
       int p = 1;
       for (; p < 100; ++p) {
         sum_1 = sum_1 + p;
       }
    
       int sum_2 = 0;
       int q = 1;
       for (; q < n; ++q) {
         sum_2 = sum_2 + q;
       }
     
       int sum_3 = 0;
       int i = 1;
       int j = 1;
       for (; i <= n; ++i) {
         j = 1; 
         for (; j <= n; ++j) {
           sum_3 = sum_3 +  i * j;
         }
       }
     
       return sum_1 + sum_2 + sum_3;
     }

第一段和第二段为O（n）第三段为O（n^2）  
**总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度**  
所以时间复杂度为O（n^2）

**3.乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积看一个例子**

int cal(int n) {
       int ret = 0; 
       int i = 1;
       for (; i < n; ++i) {
         ret = ret + f(i);
       } 
     } 
     
     int f(int n) {
      int sum = 0;
      int i = 1;
      for (; i < n; ++i) {
        sum = sum + i;
      } 
      return sum;
     }

第一端的复杂度为O（n）第二段的为O（n）  
嵌套 所以整体的复杂度为O（n^2）

理解上述的之后，了解一下多项式时间复杂度  
**1.O（1）**  
只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。  
**2.O(logn)、O(nlogn)**  
下述例子，每次循环都是2的次方，时间复杂度为O(log以2为底的n)

i=1;
     while (i <= n)  {
       i = i * 2;
     }

\*\*3. O(m+n)、O(m\*n)O(m+n) \*\*  
代码的复杂度由两个数据的规模来决定

int cal(int m, int n) {
      int sum_1 = 0;
      int i = 1;
      for (; i < m; ++i) {
        sum_1 = sum_1 + i;
      }
      
      int sum_2 = 0;
      int j = 1;
      for (; j < n; ++j) {
        sum_2 = sum_2 + j;
      }
      
      return sum_1 + sum_2;
    }

m\*n即为 两个未知，一个嵌套另一个