算法之一眼看透程序时间复杂度和空间复杂度

爱被打了一巴掌 2023-05-29 02:50 15阅读 0赞

小林从开学至今都未更新过文章，趁着今天是万圣节，重出江湖。

本文转载自 键盘上的钢琴师\_v5 的博客，原文链接在文章下方。

### 时间复杂度 ###

##### 时间复杂度定义 #####

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中，f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为**大0记法**。

##### 推导大O阶方法 #####

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

##### 推导示例 #####

###### 1、常数阶 ######

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，是利用高斯定理计算1，2，……n个数的和。

int sum = 0, n = 100;       /*执行一次*/
    sum = (1 + n) * n / 2;      /*执行一次*/
    printf("%d",sum);           /*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f (n) =3。根据我们推导大0阶的方法，第一步就是把常数项3 改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为0(1)。

另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句 sum = (1+n)\*n/2; 有10 句，则与示例给出的代码就是3次和12次的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n 的变大而发生变化，所以单纯的分支结构(不包含在循环结构中)，其时间复杂度也是0(1)。

###### 2、线性阶 ######

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)， 因为循环体中的代码需要执行n次。

int i;      
    for(i = 0; i < n; i++){
        
        /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }

###### 3、对数阶 ######

如下代码：

int count = 1;      
    while (count < n){
        
       count = count * 2;
      /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
    }

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n 得到x=logn。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

###### 4、平方阶 ######

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

int i, j;      
    for(i = 0; i < n; i++){
        
        for(j = 0; j < n; j++){
        
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
        }
    }

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n^2)。  
如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(mXn)。

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。  
那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢?

int i, j;      
    for(i = 0; i < n; i++){
        
        for(j = i; j < n; j++){
           /*注意j = i而不是0*/
            /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
        }
    }

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n-1次，……当i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为:  
![在这里插入图片描述][2019110119464275.jpg]

用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留时(n^2)/2; 第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大0推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力。

###### 5、立方阶 ######

下面例子是一个三重循环嵌套。

int i, j;      
    for(i = 1; i < n; i++)
        for(j = 1; j < n; j++)
            for(j = 1; j < n; j++){
        
                /*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/
       }

这里循环了(12+22+32+……+n2) = n(n+1)(2n+1)/6次，按照上述大O阶推导方法，时间复杂度为O(n^3)。

##### 常见的时间复杂度 #####

###### 常见的时间复杂度如表所示。 ######

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc2NDM1MA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：

![在这里插入图片描述][20191101194904209.jpg]

我们前面已经谈到了。O(1)常数阶、O(logn)对数阶、O(n)线性阶、 O(n2)平方阶等，像O(n3)，过大的n都会使得结果变得不现实。同样指数阶O(2^n)和阶乘阶O(n!)等除非是很小的n值，否则哪怕n 只是100，都是噩梦般的运行时间。所以这种不切实际的算法时间复杂度，一般我们都不去讨论。

##### 最坏情况与平均情况 #####

我们查找一个有n 个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)，但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。

最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求， 通常， 除非特别指定， 我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

而平均运行时间也就是从概率的角度看， 这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。也就是说，我们运行一段程序代码时，是希望看到平均运行时间的。可现实中，平均运行时间很难通过分析得到，一般都是通过运行一定数量的实验数据后估算出来的。一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。

### 空间复杂度 ###

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间，比如说，要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组(年数略比现实多一点)，然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。这是通过一笔空间上的开销来换取计算时间的小技巧。到底哪一个好，其实要看你用在什么地方。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作:S(n)= O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元，若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为0(1)。

通常， 我们都使用"时间复杂度"来指运行时间的需求，使用"空间复杂度"指空间需求。当不用限定词地使用"复杂度’时，通常都是指时间复杂度。

##### 计算的规则 #####

###### 1、加法规则 ######

T(n,m) = T1(n) + T2(m) = O(max{f(n), g(m)})

###### 2、乘法规则 ######

T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O(max{f(n)*g(m)})

###### 3、一个经验 ######

复杂度与时间效率的关系：

c(常数) < logn < n < n\*logn < n^2 < n^3 < 2^n < 3^n < n!  
l------------------------------l-------------------------l--------l  
较好 一般 较差

常用算法的时间复杂度和空间复杂度  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc2NDM1MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

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参考：  
《大话数据结构》  
http://blog.csdn.net/yangwei282367751/article/details/52426911  
http://univasity.iteye.com/blog/1164707

本文转载自 键盘上的钢琴师\_v5 的博客《[算法的时间复杂度和空间复杂度计算][Link 1]》

-------------------------完-------------------------

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