【信号与系统学习笔记】—— 连续时间非周期信号傅里叶变换的性质【下篇】（时域卷积定理和频域卷积定理）

电玩女神 2023-05-22 08:58 24阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、时域卷积定理
 *  二、频域卷积定理（时域相乘）
 *   *  2.1 应用：正弦幅度调制
 *  三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法
 *   *  3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系

# 一、时域卷积定理 #

我们先给出定理：**两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。**  
即：若： x ( t ) F ↔ X ( j ω ) ; y ( t ) F ↔ Y ( j ω ) x(t)\\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X(jω); \\quad y(t)\\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space Y(jω) x(t)FX(jω);y(t)FY(jω)；那么 x ( t ) ∗ y ( t ) F ↔ X ( j ω ) Y ( j ω ) x(t)\*y(t) \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X(jω)Y(jω) x(t)∗y(t)FX(jω)Y(jω)

这给我们计算一个系统的输出带来了极大的便利。我们可以先求出输入信号的频谱和系统的频率响应，两者一乘，最后做一下傅里叶逆变换就可以得出系统的输出（时域上的）。

【Proof】：我们下面证明一下，直接从定义出发： Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ y ( t ) e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ \[ ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ \] e − j ω t d t \\begin\{aligned\} Y(jω) &= \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}y(t)e^\{-jωt\}dt\\\\ &=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}\[\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}x(τ)h(t - τ)dτ\]e^\{-jωt\}dt\\\\\\\\ \\end\{aligned\} Y(jω)=∫−∞\+∞y(t)e−jωtdt=∫−∞\+∞\[∫−∞\+∞x(τ)h(t−τ)dτ\]e−jωtdt  
到这里，博主有话要说了：因为我们现在的被积函数是 x ( τ ) x(τ) x(τ) 和  h ( t − τ ) h(t - τ) h(t−τ) 都是和  τ τ τ 有关的表达式，因此我们不能简单粗暴地把它们拆开，一个是  t t t 的积分，另一个是  τ τ τ 的积分。这样是错误的！！但是我们又注意到：只有  h ( t − τ ) h(t - τ) h(t−τ) 是和  t t t 有关的，那么我们确实可以先让  h ( t − τ ) h(t - τ) h(t−τ) 对  t t t 积分， d τ dτ dτ 放在最后面去做。

Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) h ( t − τ ) d τ \] e − j ω t d t = ∫ − ∞ + ∞ \[ x ( τ ) ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t \] d τ \\begin\{aligned\} Y(jω) &=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}\[\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}x(τ)h(t - τ)dτ\]e^\{-jωt\}dt\\\\ &=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}\[x(τ)\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}h(t - τ)e^\{-jωt\}dt\]dτ \\end\{aligned\} Y(jω)=∫−∞\+∞\[∫−∞\+∞x(τ)h(t−τ)dτ\]e−jωtdt=∫−∞\+∞\[x(τ)∫−∞\+∞h(t−τ)e−jωtdt\]dτ  
这里我们需要用到傅里叶变换的延时特性：若  x ( t ) F ↔ X ( j ω ) x(t)\\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X(jω) x(t)FX(jω)，那么  x ( t − t 0 ) F ↔ X ( j ω ) e − j ω t 0 x(t-t\_0) \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space X(jω)e^\{-jωt\_0\} x(t−t0)FX(jω)e−jωt0

换成数学表达式就是： ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t = H ( j ω ) e − j ω τ \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}h(t - τ)e^\{-jωt\}dt = H(jω)e^\{-jωτ\} ∫−∞\+∞h(t−τ)e−jωtdt=H(jω)e−jωτ  
所以上式就变为： Y ( j ω ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ x ( τ ) ∫ − ∞ + ∞ h ( t − τ ) e − j ω t d t \] d τ = ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) e − j ω τ H ( j ω ) d τ = H ( j ω ) ∫ − ∞ + ∞ x ( τ ) e − j ω τ d τ = H ( j ω ) X ( j ω ) \\begin\{aligned\} Y(jω) &=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}\[x(τ)\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}h(t - τ)e^\{-jωt\}dt\]dτ\\\\ &=\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}x(τ)e^\{-jωτ\}H(jω)dτ\\\\ &=H(jω)\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}x(τ)e^\{-jωτ\}dτ\\\\ &=H(jω)X(jω) \\end\{aligned\} Y(jω)=∫−∞\+∞\[x(τ)∫−∞\+∞h(t−τ)e−jωtdt\]dτ=∫−∞\+∞x(τ)e−jωτH(jω)dτ=H(jω)∫−∞\+∞x(τ)e−jωτdτ=H(jω)X(jω)

那么，问题来了：还记得我们在之前的  B l o g Blog Blog 里面说过的吗？任何一个系统都可以通过其单位冲激响应  h ( t ) h(t) h(t) 来表征对吧，那么根据我们现在推导出的时域卷积定理： Y ( j ω ) = H ( j ω ) X ( j ω ) Y(jω)=H(jω)X(jω) Y(jω)=H(jω)X(jω)，那么按理说任何一个系统应该也可以用它的频率响应  H ( j ω ) H(jω) H(jω) 来表征。但是，确实是这样吗？

我们知道， H ( j ω ) H(jω) H(jω) 是  h ( t ) h(t) h(t) 的傅里叶变换，那么所以只有当  h ( t ) h(t) h(t) 满足傅里叶变换的收敛条件其中之一： ∫ − ∞ + ∞ ∣ h ( t ) ∣ 2 d t < ∞ ∫ − ∞ + ∞ ∣ h ( t ) ∣ d t < ∞ \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}|h(t)|^2dt < ∞\\\\ \\space\\\\ \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}|h(t)|dt < ∞ ∫−∞\+∞∣h(t)∣2dt<∞∫−∞\+∞∣h(t)∣dt<∞  
那么，这个系统才会存在频率响应，也就是说，不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就不能说：任何系统都可以用它的频率响应  H ( j ω ) H(jω) H(jω) 来表征。但是在本文后面的部分将会给出  h ( t ) h(t) h(t) 和  H ( j ω ) H(jω) H(jω)（存在的情况）的计算方法。

# 二、频域卷积定理（时域相乘） #

我们先给出定理：若  x 1 ( t ) , x 2 ( t ) x\_1(t), x\_2(t) x1(t),x2(t) 的傅里叶变换分别为： X 1 ( j ω ) , X 2 ( j ω ) X\_1(jω), X\_2(jω) X1(jω),X2(jω)，那么有： x 1 ( t ) ⋅ x 2 ( t ) F ↔ 1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) x\_1(t)\\sdot x\_2(t) \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space \\frac\{1\}\{2π\} X\_1(jω) \* X\_2(jω) x1(t)⋅x2(t)F2π1X1(jω)∗X2(jω)

## 2.1 应用：正弦幅度调制 ##

我们知道如果要计算系统的输出，我们可以通过时域卷积的方法计算得到。那么，什么场合下我们会用到时域信号相乘呢？答案就是—— 正弦幅度调制（当然不仅仅是这种，未来的  I Q IQ IQ 调制等等也都会用得上）

我们来看看正弦幅度调制的框图：  
![在这里插入图片描述][20200421133412421.png]

其中， s ( t ) s(t) s(t) 是我们的时域信号， p ( t ) = c o s ( ω 0 t ) p(t) = cos(ω\_0t) p(t)=cos(ω0t)，那么得到的  r ( t ) r(t) r(t) 就是  s ( t ) ⋅ p ( t ) s(t)\\sdot p(t) s(t)⋅p(t)

下面，我们就从频域的角度去分析正弦幅度调制：  
【1】第一步：计算  p ( t ) p(t) p(t)，  s ( t ) s(t) s(t) 的频谱。

对于  c o s ( ω 0 t ) cos(ω\_0t) cos(ω0t) 的频谱我们应该是很熟悉了，即  P ( j ω ) = π δ ( ω + ω 0 ) + π δ ( ω − ω 0 ) P(jω) = πδ(ω+ω\_0) + πδ(ω-ω\_0) P(jω)=πδ(ω\+ω0)\+πδ(ω−ω0)，如下图所示：  
![在这里插入图片描述][2020042114153242.png]  
我们再假设信号  s ( t ) s(t) s(t) 的频谱如下图所示：  
![在这里插入图片描述][20200421134138204.png]  
根据： x 1 ( t ) ⋅ x 2 ( t ) F ↔ 1 2 π X 1 ( j ω ) ∗ X 2 ( j ω ) x\_1(t)\\sdot x\_2(t) \\space \\underleftrightarrow\{\\mathscr\{F\}\} \\space \\frac\{1\}\{2π\} X\_1(jω) \* X\_2(jω) x1(t)⋅x2(t)F2π1X1(jω)∗X2(jω)，我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所示：  
![在这里插入图片描述][20200421134229156.png]  
**这里我们得出了一个结论：信号  s ( t ) s(t) s(t) 在时域上与  c o s ( ω 0 t ) cos(ω\_0t) cos(ω0t) 相乘，相当于在频谱上把  s ( t ) s(t) s(t) 的频谱一分为二之后，分别向左右各搬移  ω 0 ω\_0 ω0！** （频谱搬移）

好的，到这里，我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制，那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢？？

![在这里插入图片描述][20200421134717955.png]  
我们看到，最左边的箭头的输入，就是我们刚刚那个调制的信号，在解调端，我们需要再给这个信号乘以原载波  c o s ( ω 0 t ) cos(ω\_0t) cos(ω0t) ，然后经过一个低通滤波器（通带增益为2），就可以换原原本的信号了！

我们也是从频谱的角度来直观地看一下这个过程：  
下图是输入信号  r ( t ) r(t) r(t) 的频谱：  
![在这里插入图片描述][20200421134948666.png]  
下图是  p ( t ) p(t) p(t) 的频谱， r ( t ) r(t) r(t) 需要再和载波进行相乘：  
![在这里插入图片描述][20200421135033711.png]

那么，二者相乘得到信号的频谱就是：  
![在这里插入图片描述][20200421135105675.png]  
此时注意：中间频谱的幅度是  1 2 \\frac\{1\}\{2\} 21

那么，经过一个通带增益为2的低通滤波器，就可以恢复原信号的频谱了！（下图为该低通滤波器的频响）  
![在这里插入图片描述][20200421135231493.png]

# 三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法 #

我们常常使用线性常系数微分方程来表征一个系统，如下：  
![在这里插入图片描述][20200421135549853.png]  
这时，我们可以直接对方程两边做傅里叶变换，根据傅里叶变换的微分性可以得出： ∑ k = 0 N a k ( j ω ) k Y ( j ω ) = ∑ k = 0 N b k ( j ω ) k X ( j ω ) \\sum\_\{k=0\}^\{N\}a\_k(jω)^kY(jω) = \\sum\_\{k=0\}^Nb\_k(jω)^kX(jω) k=0∑Nak(jω)kY(jω)=k=0∑Nbk(jω)kX(jω)  
同时，又根据： X ( j ω ) H ( j ω ) = Y ( j ω ) X(jω)H(jω) = Y(jω) X(jω)H(jω)=Y(jω)，所以我们可以得到系统的频率响应为： H ( j ω ) = Y ( j ω ) X ( j ω ) = ∑ k = 0 N b k ( j ω ) k ∑ k = 0 N a k ( j ω ) k H(jω) = \\frac\{Y(jω)\}\{X(jω)\} = \\frac\{\\sum\_\{k=0\}^Nb\_k(jω)^k\}\{\\sum\_\{k=0\}^\{N\}a\_k(jω)^k\} H(jω)=X(jω)Y(jω)=∑k=0Nak(jω)k∑k=0Nbk(jω)k

【我们举一个例子来感受这种方法的简便性，同时也给大家介绍一种解题技法】：  
求以下面这个微分方程表征的系统的  h ( t ) h(t) h(t)：  
![在这里插入图片描述][20200421140033510.png]  
两边做傅里叶变换，得： ( j ω ) 2 Y ( j ω ) + 6 ( j ω ) Y ( j ω ) + 8 Y ( j ω ) = ( j ω ) X ( j ω ) + 3 X ( j ω ) ( ( j ω ) 2 + 6 ( j ω ) + 8 ) Y ( j ω ) = ( ( j ω ) + 3 ) X ( j ω ) (jω)^2Y(jω) + 6(jω)Y(jω) + 8Y(jω) = (jω)X(jω) + 3X(jω)\\\\ ((jω)^2 + 6(jω) + 8)Y(jω) = ((jω) + 3)X(jω) (jω)2Y(jω)\+6(jω)Y(jω)\+8Y(jω)=(jω)X(jω)\+3X(jω)((jω)2\+6(jω)\+8)Y(jω)=((jω)\+3)X(jω)  
因此，系统得频率响应可以表示为： H ( j ω ) = Y ( j ω ) X ( j ω ) = ( j ω ) + 3 ( j ω ) 2 + 6 ( j ω ) + 8 = j ω + 3 ( j ω + 2 ) ( j ω + 4 ) H(jω) = \\frac\{Y(jω)\}\{X(jω)\} = \\frac\{(jω)+3\}\{(jω)^2 + 6(jω) + 8\} = \\frac\{jω+3\}\{(jω+2)(jω+4)\} H(jω)=X(jω)Y(jω)=(jω)2\+6(jω)\+8(jω)\+3=(jω\+2)(jω\+4)jω\+3  
我们乍一看这个表达式看不能立刻得出结论，还需要使用下面这个技巧来分解一下： H ( j ω ) = A 1 j ω + 2 + A 2 j ω + 4 = j ω + 3 ( j ω + 2 ) ( j ω + 4 ) H(jω) = \\frac\{A\_1\}\{jω+2\} + \\frac\{A\_2\}\{jω+4\} = \\frac\{jω+3\}\{(jω+2)(jω+4)\} H(jω)=jω\+2A1\+jω\+4A2=(jω\+2)(jω\+4)jω\+3  
下面就需要计算  A 1 , A 2 A\_1, A\_2 A1,A2。下面是固定套路：

1.  要求  A 1 A\_1 A1，我们就对上面的等式两边同乘  j ω + 2 jω+2 jω\+2，再令  j ω + 2 = 0 jω+2 = 0 jω\+2=0，就可以把  A 1 A\_1 A1 解出来。 A 1 = 1 2 A\_1 = \\frac\{1\}\{2\} A1=21
2.  要求  A 2 A\_2 A2 ，我们就对上面的等式两边同乘以  j ω + 4 jω+4 jω\+4，再令  j ω + 4 = 0 jω+4 = 0 jω\+4=0，就可以把  A 2 A\_2 A2解出来。 A 2 = 1 2 A\_2 = \\frac\{1\}\{2\} A2=21

即： H ( j ω ) = 1 2 1 j ω + 2 + 1 2 1 j ω + 4 H(jω) = \\frac\{1\}\{2\}\\frac\{1\}\{jω+2\} + \\frac\{1\}\{2\}\\frac\{1\}\{jω+4\} H(jω)=21jω\+21\+21jω\+41

还记得单边指数信号  e − a t u ( t ) e^\{-at\}u(t) e−atu(t) 的频谱嘛？——  1 a + j ω \\frac\{1\}\{a+jω\} a\+jω1  
因此，我们看到这里： 1 j ω + 2 \\frac\{1\}\{jω+2\} jω\+21 的原信号就是： e − 2 t u ( t ) e^\{-2t\}u(t) e−2tu(t)。所以  h ( t ) h(t) h(t) 为： h ( t ) = 1 2 e − 2 t u ( t ) + 1 2 e − 4 t u ( t ) h(t) = \\frac\{1\}\{2\}e^\{-2t\}u(t) + \\frac\{1\}\{2\}e^\{-4t\}u(t) h(t)=21e−2tu(t)\+21e−4tu(t)

## 3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系 ##

【1】级联  
![在这里插入图片描述][20200421141155378.png]  
还记得时域里面如果两个系统级联，那么它们的响应关系是： h 1 ( t ) ∗ h 2 ( t ) h\_1(t) \* h\_2(t) h1(t)∗h2(t)  
根据时域卷积定理，它们的频域关系就是： H 1 ( j ω ) H 2 ( j ω ) H\_1(jω)H\_2(jω) H1(jω)H2(jω)

【2】并联：并联里面时域和频域都一样，都是相加。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDU4NjQ3Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
 H 1 ( j ω ) + H 2 ( j ω ) H\_1(jω) + H\_2(jω) H1(jω)\+H2(jω)

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