MATLAB系列：矩阵运算笔记（二）

柔情只为你懂 2023-05-22 08:47 19阅读 0赞

# 0x00 前言 #

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MATLAB版本：MATLAB R2018b。

# 0x01 矩阵运算 #

1.**幂函数**  
A是一个n阶矩阵，k是一个正整数，规定 A   A ⋯ A ⏟ k  个 \\underbrace\{A\\ A\\cdots A\}\_\{k\\text\{ 个\}\} k 个A A⋯A称为矩阵的幂，其中k为正整数。  
矩阵的幂运算是将矩阵中的每隔元素进行乘方运算，即  
 ( λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ) k = ( λ 1 k 0 ⋯ 0 0 λ 2 k ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ λ n k ) \\begin\{pmatrix\} \\lambda\_\{1\} &0 & \\cdots &0 \\\\ 0 & \\lambda\_\{2\} & \\cdots &0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0& \\cdots &\\lambda\_\{n\} \\\\ \\end\{pmatrix\}^\{k\} = \\begin\{pmatrix\} \\lambda\_1^k &0 & \\cdots &0 \\\\ 0 & \\lambda\_2^k & \\cdots &0 \\\\ \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\ 0 & 0& \\cdots &\\lambda\_n^k \\\\ \\end\{pmatrix\} ⎝⎜⎜⎜⎛λ10⋮00λ2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮λn⎠⎟⎟⎟⎞k=⎝⎜⎜⎜⎛λ1k0⋮00λ2k⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮λnk⎠⎟⎟⎟⎞

对于单位n阶矩阵A有 A k A l A^\{k\} A^\{l\} AkAl =  A k + l A^\{k+l\} Ak\+l，（ A k ） l A^\{k\} ）^\{l\} Ak）l =  A k + l A^\{k+l\} Ak\+l。

**例1：**  
矩阵幂运算1。

>> A = [1 2 3; 4 5 6;3 2 1];
    >> A.^2

![在这里插入图片描述][20200416215045330.png]  
**例2：**  
矩阵幂运算2。

>> A = [1 2 3; 4 5 6;3 2 1];
    >> B = [2 3 4; 4 5 4;1 3 4];
    >> (A*B)^3
    >> A^3*B^3

![在这里插入图片描述][20200416215244642.png]  
2.**矩阵的逆**  
对于n阶方阵A，如果有n阶方阵B满足AB=BA=I，则称矩阵A为可逆，称方阵B为A的逆矩阵，记位A\-1。  
性质：  
·若A可逆，则A\-1是唯一的。  
·若A可逆，则A\-1 也可逆，并且（A\-1）\-1=A。  
·若n阶方阵A与B都可逆，则AB也可逆，且(AB)\-1=B\-1A\-1。  
·若A可逆，则|A\-1|=|A|\-1。  
求解矩阵的逆使用inv（）函数：`B=inv(A)`。

**例3：**  
求解矩阵的逆1。

>>A = rand(3)
     >>inv(A)

![在这里插入图片描述][20200418103536343.png]  
**例4：**  
求解矩阵的逆2。  
已知矩阵A=  \[ 1 2 3 4 5 6 1 0 0 1 1 0 1 1 2 3 \] \\begin\{bmatrix\}1&2&3&4\\\\5&6&1&0\\\\0&1&1&0\\\\1&1&2&3\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡1501261131124003⎦⎥⎥⎤，b= \[ 1 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\}1\\\\0\\\\1\\\\0\\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡1010⎦⎥⎥⎤，求A\-1，并在A\-1基础上求矩阵A的第2列被b替换后的逆矩阵。

>> A=[1 2 3 4;5 6 1 0;0 1 1 0;1 1 2 3];
    >> b=[1 0 1 0]';
    >> A(:,2)=b
    >> inv(A)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dhbmdxaW5nY2h1YW45Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

3.**矩阵的条件数**  
矩阵的条件数在数值分析中是一个重要概念，在工程计算中十分必要，用于刻画一个矩阵的“病态”程度。  
对于非奇异矩阵A，其定义的条件数为：cond(A) v \_\{v\} v=||A\-1|| v \_\{v\} v||A|| v \_\{v\} v  
，其中v=1，2，……F。  
它是大于等于1的实数，当A的条件数相对较大，即cond(A) v \_\{v\} v>>1时，矩阵A是“病态”的，反之是“良态”的。

4.**矩阵的条件数**  
范数是数值分析中的一个概念，它是向量或矩阵大小的一个量度，在工程计算中有重要的作用。

对于向量x ∈ \\in ∈Rn，常用的向量范数有以下几种:  
·x的 ∞ \\infty ∞\-范数:||x|| ∞ \_\{\\infty\} ∞= m a x 1 ≤ i ≤ n max\_\{1\\leq i\\leq n\} max1≤i≤n |x i \_\{i\} i|  
·x的1-范数：||x|| 1 \_\{1\} 1 = ∑ i = 1 n \\sum\_\{i=1\}^n ∑i=1n |x i \_\{i\} i|  
·x的2-范数（欧式范数）：||x|| 2 \_\{2\} 2 = (xTx)1/2=( ∑ i = 1 n \\sum\_\{i=1\}^n ∑i=1n x2 i \_\{i\} i)1/2  
·x的p-范数：||x|| p \_\{p\} p= ( ∑ i = 1 n \\sum\_\{i=1\}^n ∑i=1n |x i \_\{i\} i|p)1/p

对于矩阵A ∈ \\in ∈Rm\*n，常用的矩阵范数有以下几种：  
·A的行发生范数（ ∞ \\infty ∞\-范数）：||A|| ∞ \_\{\\infty\} ∞ = m a x 1   ≤ i ≤ m max\_\{1\\ \\leq i\\leq m\} max1 ≤i≤m ∑ j = 1 n \\sum\_\{j=1\}^n ∑j=1n |a i j \_\{ij\} ij|  
·A的列范数（1-范数）：||A|| 1 \_\{1\} 1= m a x 1   ≤ j ≤ n max\_\{1\\ \\leq j\\leq n\} max1 ≤j≤n ∑ i = 1 m \\sum\_\{i=1\}^m ∑i=1m |a  i j \_\{ij\} ij|  
·A的欧式范数（2-范数）：||A|| ∞ \_\{\\infty\} ∞= λ m a x ( A T A ) \\sqrt \{ \\lambda max(A^\{T\}A)\} λmax(ATA) ||A||  ∞ \_\{\\infty\} ∞=  λ m a x ( A T A ) \\sqrt \{ \\lambda max(A^\{T\}A)\} λmax(ATA)，其中 λ m a x ( A T A ) \\lambda max(A^\{T\}A) λmax(ATA)表示ATA的最大特征值。  
·A的Forbenius范数（F-范数）：||A|| F \_\{F\} F = （ ∑ i = 1 m \\sum\_\{i=1\}^m ∑i=1m ∑ j = 1 n \\sum\_\{j=1\}^n ∑j=1na i j \_\{ij\} ij2）1/2 = trace(  A T A A^\{T\}A ATA)1/2

**例5：**  
矩阵的范数和条件数。

>> A=[3 8 9;0 3 3;7 9 5];
    >> B=[8 3 9;2 8 1;3 9 1];
    >> norm(A)
    >> normest(A)
    >> det(A)

![在这里插入图片描述][20200418121553291.png]

以上。

参考文档：  
1.[https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962][https_www.zybuluo.com_codeep_note_163962]（Markdown 公式指导手册）  
2.[https://blog.csdn.net/katherine\_hsr/article/details/79179622][https_blog.csdn.net_katherine_hsr_article_details_79179622]（数学符号和公式）  
3.天工在线.中文版MATLAB2018从入门到精通（实战案例版）\[M\].北京:中国水利水电出版社,2018.

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[https_www.zybuluo.com_codeep_note_163962]: https://www.zybuluo.com/codeep/note/163962
[https_blog.csdn.net_katherine_hsr_article_details_79179622]: https://blog.csdn.net/katherine_hsr/article/details/79179622