一、汉诺塔问题

清疚 2023-05-21 08:57 17阅读 0赞

有三根杆子A，B，C。A杆上有N个(N>1)穿孔圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。要求按下列规则将所有圆盘移至C杆： 每次只能移动一个圆盘； 大盘不能叠在小盘上面。 提示：可将圆盘临时置于B杆，也可将从A杆移出的圆盘重新移回A杆，但都必须遵循上述两条规则。

问：如何移？最少要移动多少次？

汉诺塔示意图如下：

三个盘的移动：

## 二、故事由来 ##

法国数学家爱德华·卢卡斯曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
    
    不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢?这里需要递归的方法。假设有n片，移动次数是f(n).显然f(1)=1,f(2)=3,f(3)=7，且f(k+1)=2*f(k)+1。此后不难证明f(n)=2^n-1。n=64时， 假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000 秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下： 18446744073709551615秒 这表明移完这些金片需要5845.54亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。

##  ##

## Input ##

输入为一个整数后面跟三个单字符字符串。  
整数为盘子的数目，后三个字符表示三个杆子的编号。

## Output ##

输出每一步移动盘子的记录。一次移动一行。  
每次移动的记录为例如3:a->b 的形式，即把编号为3的盘子从a杆移至b杆。  
我们约定圆盘从小到大编号为1, 2, …n。即最上面那个最小的圆盘编号为1，最下面最大的圆盘编号为n。

## Sample Input ##

3 a b c

## Sample Output ##

1:a->c  
2:a->b  
1:c->b  
3:a->c  
1:b->a  
2:b->c  
1:a->c

## 三、解法 ##

**解法的基本思想是递归。假设有A、B、C三个塔，A塔有N块盘，目标是把这些盘全部移到C塔。那么先把A塔顶部的N-1块盘移动到B塔，再把A塔剩下的大盘移到C，最后把B塔的N-1块盘移到C。 每次移动多于一块盘时，则再次使用上述算法来移动。**

#include<iostream>
    using namespace std;
    void hanio(int n, char a,char c ,char m)//将n块盘子借助m从a处移动到c处 
    { 
    	if(n==1)
    	{ 
    		printf("%d:%c->%c\n",n,a,c);
    		return ;
    	}
    	hanio(n-1,a,m,c);
    	printf("%d:%c->%c\n",n,a,c);
    	hanio(n-1,m,c,a);
    }
    int main()
    { 
    	int N;
    	char a,b,c;
    	cin>>N>>a>>b>>c;
    	hanio(N,a,c,b);
    	return 0;
    }```