卢卡斯定理+特征方程

本是古典何须时尚 2023-03-02 05:30 23阅读 0赞

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学校的每日一题

首先先想出插板法将n个区域分为k份，每份奖品不同，这样就可以保证转动一格后每个板子处会奖品不同，然后问题就变成了求解k个区域，m种颜色，每个区域和相邻区域不同颜色的方案数了。

首先想想朴素的涂色问题，不难想到（或搜到）递推公式 fk=(m-2)fk-1+(m-1)fk-2

可是m和k的范围太大了，所以我（被）自愿复习了特征方程

原文链接：[https://blog.csdn.net/Estia\_/article/details/88827117][https_blog.csdn.net_Estia_article_details_88827117]（人家整理的真不错，白嫖好香）

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然后就能得出 fk=(m-1)^k+(m-1)\*(-1)^k

然后答案就变成了C(n,k)\*fk

fk可以通过快速幂求解，可是前面的C(n,k)呢？

现在引入一个新的知识点：卢卡斯定理 专门用于处理C(n,k)%p的问题

就是下面这个式子，得到就会写了吧

我是看这个看懂的：[https://zhuanlan.zhihu.com/p/116698264][https_zhuanlan.zhihu.com_p_116698264]

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附百度百科的卢卡斯定理板子 时间复杂度***O（log******p******(n)\*p)***：）

int Lucas (ll n , ll m , int p) 
    {
      return m == 0 ? 1 : 1ll*comb (n%p , m%p , p) * Lucas (n/p,m/p,p)%p ;
    }
    //comb()函数中，因为q ， r < p , 所以这部分暴力完成即可。
    //C++求C(n, m) mod 10007    版本二 要求p z在100000左右
    ll f[N];
    void init(int p) 
    {       //f[n] = n!
        f[0] = 1;
        for (int i=1; i<=p; ++i) f[i] = f[i-1] * i % p;
    } 
    ll pow_mod(ll a, ll x, int p)
    {
        ll ret = 1;
        while (x)
            {
            if (x & 1)  ret = ret * a % p;
            a = a * a % p;
            x >>= 1;
        }
        return ret;
    }
      
    ll Lucas(ll n, ll k, int p)        //C (n, k) % p
    {
         ll ret = 1;
         while (n && k) 
            {
            ll nn = n % p, kk = k % p;
            if (nn < kk) return 0;  //inv (f[kk]) = f[kk] ^ (p - 2) % p
            ret = ret * f[nn] * pow_mod (f[kk] * f[nn-kk] % p, p - 2, p) % p;
            n /= p, k /= p;
         }
         return ret;
    }
    int main(void)
    {
        init (p);
        printf ("%I64d\n", Lucas (n, m, p));
        return 0;
    }

至此，这个题应该已经不难求解了

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[https_blog.csdn.net_Estia_article_details_88827117]: https://blog.csdn.net/Estia_/article/details/88827117
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