第十一讲 m-序列

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2023-03-02 05:25 1阅读 0赞

# 1 线性反馈移位寄存器的多项式表示 #

### 线性移位寄存器的一元多项式表示 ###

定义2.1 设n级线性移位寄存器的输出序列满足递推关系

![a\_\{n+k\}=c\_1a\_\{n+k-1\}\\oplus c\_2a\_\{n+k-2\} \\oplus ...\\oplus c\_na\_k \\quad (\*)][a_n_k_c_1a_n_k-1_oplus c_2a_n_k-2_ _oplus ..._oplus c_na_k _quad]

用延迟算子 ![D(D\_\{a\_k\}=a\_\{k-1\})][D_D_a_k_a_k-1] 作为未定元，给出的反馈多项式为： ![p(D)=1+c\_1D+...+c\_\{n-1\}D^\{n-1\}+c\_nD^n][p_D_1_c_1D_..._c_n-1_D_n-1_c_nD_n]

这种递推关系可用一个一元高次多项式 ![p(x)=1+c\_1x+...+c\_\{n-1\}x^\{n-1\}+c\_nx^n][p_x_1_c_1x_..._c_n-1_x_n-1_c_nx_n] 表示，称这个多项式为LFSR的特征多项式。

根据初始状态的不同，由递推关系(\*)生成的非恒零的序列有![2^n-1][2_n-1]个，记这![2^n-1][2_n-1]个非零序列的全体为G(p(x))。

### 关于特征多项式的解释 ###

![20200728000849915.png][]

### 生成函数 ###

![20200728002815777.png][]

### 生成函数的性质 ###

![20200728002843599.png][]

![20200728002930274.png][]

# 2 m-序列产生的条件 #

### 不可约多项式 ###

![20200728003331346.png][]

### m-序列产生的必要条件 ###

![20200728003415990.png][]

该定理的逆不成立，即LFSR的特征多项式为不可约多项式时，其输出序列不一定是m序列。

![20200728003823436.png][]

### m-序列产生的充要条件 ###

![20200728004011539.png][]

对于任意的正整数n，至少存在一个n次本原多项式。所以对于任意的 n 级 LFSR，至少存在一种连接方式使其输出序列为m序列。

### m-序列举例 ###

![20200728004122302.png][]

[a_n_k_c_1a_n_k-1_oplus c_2a_n_k-2_ _oplus ..._oplus c_na_k _quad]: https://private.codecogs.com/gif.latex?a_%7Bn&plus;k%7D%3Dc_1a_%7Bn&plus;k-1%7D%5Coplus%20c_2a_%7Bn&plus;k-2%7D%20%5Coplus%20...%5Coplus%20c_na_k%20%5Cquad%20%28*%29
[D_D_a_k_a_k-1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?D%28D_%7Ba_k%7D%3Da_%7Bk-1%7D%29
[p_D_1_c_1D_..._c_n-1_D_n-1_c_nD_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?p%28D%29%3D1&plus;c_1D&plus;...&plus;c_%7Bn-1%7DD%5E%7Bn-1%7D&plus;c_nD%5En
[p_x_1_c_1x_..._c_n-1_x_n-1_c_nx_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?p%28x%29%3D1&plus;c_1x&plus;...&plus;c_%7Bn-1%7Dx%5E%7Bn-1%7D&plus;c_nx%5En
[2_n-1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?2%5En-1
[20200728000849915.png]: /images/20230208/f55e1f2106604a7b8682716ad6f5d7e0.png
[20200728002815777.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200728002815777.png
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[20200728003331346.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200728003331346.png
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