点到超平面的距离

客官°小女子只卖身不卖艺 2023-03-01 13:39 89阅读 0赞

### 点到超平面的距离 ###

*   *   *  1.点到平面的距离
         *  2.点到超平面的距离

### 1.点到平面的距离 ###

首先说一下采用向量法计算点到平面的距离：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MDQ4NzU2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

> 设图中平面的方程为Ax+By+Cz+D=0,点M0的坐标为（x0,y0,z0）,点M1的坐标为（x1,y1,z1）,求M1到平面的距离。

**解：**  
![在这里插入图片描述][20200728105658184.png_pic_center]  
其中a为向量M0M1与平面法向量之间的夹角，对于平面Ax+By+Cz+D=0，该平面的一个法向量n为（A，B，C）,由于  
![在这里插入图片描述][20200728111058305.png_pic_center]  
因此  
![在这里插入图片描述][20200728170318534.png]  
进一步化简该式：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MDQ4NzU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
由于点M0在平面内，故有  
![在这里插入图片描述][20200728170724592.png_pic_center]  
故结果可进一步转化为  
![在这里插入图片描述][20200728170904853.png_pic_center]  
因为距离为正数，因此此处加了个绝对值。  
综上可以看出，点到平面的距离的计算，实际上是将该点带入到该平面方程，然后再除以该平面的法向量的二范数。

> 注：  
> 1.向量的模为向量的长度  
> 2.向量的点积为一个数  
> 3.向量的二范数为向量所有元素的平方和再开根号。

### 2.点到超平面的距离 ###

由点到平面的距离，可以类比下点到超平面的距离，即将该点带入到该超平面，然后再除以该平面法向量的二范数。实际应用中。通常将该点带入到该超平面，不除以该平面法向量的二范数，利用该方式来刻画点到超平面的距离远近。

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