[剑指offer]面试题第[60]题[JAVA][n个骰子的点数][动态规划][空间优化]

阳光穿透心脏的1/2处 2023-02-26 05:29 12阅读 0赞

#### 【问题描述】\[中等\] ####

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
    
    
    你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。
    
    
    示例 1:
    
    输入: 1
    输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
    示例 2:
    
    输入: 2
    输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]
     
    
    限制：
    
    1 <= n <= 11

#### 【解答思路】 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70]

###### 动态规划 ######

**第 1 步：设计状态**  
n个骰子，每个骰子6个面，总情况数为6^n  
F(n,s)F(n,s)为当骰子数为n，和为s的情况数量  
**第 2 步：状态转移方程**  
![在这里插入图片描述][20200714151935635.png]

**第 3 步：考虑初始化**  
int \[\]\[\]dp = new int\[n+1\]\[6\*n+1\];

**第 4 步：考虑输出**  
(double)dp\[n\]\[i\])/Math.pow((double)6,(double)n);  
**第 5 步：考虑是否可以状态压缩**  
是  
**时间复杂度：O(N^2) 空间复杂度：O(1)**

class Solution { 
        public double[] twoSum(int n) { 
            int [][]dp = new int[n+1][6*n+1];
            //边界条件
            for(int s=1;s<=6;s++)dp[1][s]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){ 
                for(int s=i;s<=6*i;s++){ 
                    //求dp[i][s]
                    for(int d=1;d<=6;d++){ 
                    //dp[i-1][s-d] i-1表示骰子数为 i-1 时点数和为 s-d 的次数，筛子数为 i-1 时，最小的点数和为 1 * (i - 1), 最大的点数和为 6 * (i -1)，所以 s-d >= i-1, 如果 s-d<i-1，那么数据非法，得跳出本次循环
                        if(s-d<i-1)break;//为0了
                        dp[i][s]+=dp[i-1][s-d];
                    }
                }
            }
            double total = Math.pow((double)6,(double)n);
            double[] ans = new double[5*n+1];
            for(int i=n;i<=6*n;i++){ 
                ans[i-n]=((double)dp[n][i])/total;
            }
            return ans;
        }
    }

**空间优化**  
每个阶段的状态都只和它前一阶段的状态有关，因此我们不需要用额外的一维来保存所有阶段。

用一维数组来保存一个阶段的状态，然后对下一个阶段可能出现的点数 j 从大到小遍历，实现一个阶段到下一阶段的转换。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

public double[] twoSum(int n) { 
            int []dp = new int[6*n+1];
            //边界条件
            for(int s=1;s<=6;s++)dp[s]=1;
            for(int i=2;i<=n;i++){ 
                for(int j=i*6;j>=i;j--){ 
                    dp[j] = 0;
                    for(int d=1;d<=6;d++){ 
                        if(j-d<i-1)break;
                        dp[j]+=dp[j-d];
                    }
                }
            }
            double total = Math.pow((double)6,(double)n);
            double[] ans = new double[5*n+1];
            for(int i=n;i<=6*n;i++){ 
                ans[i-n]=((double)dp[i])/total;
            }
            return ans;
        }

#### 【总结】 ####

###### 1. 动态规划流程 ######

第 1 步：设计状态  
第 2 步：状态转移方程  
第 3 步：考虑初始化  
第 4 步：考虑输出  
第 5 步：考虑是否可以状态压缩

###### 2. 动态规划牛逼 概率题活生生变成动态规划 ######

参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/nge-tou-zi-de-dian-shu-dong-tai-gui-hua-ji-qi-yo-3/  
参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/nge-tou-zi-de-dian-shu-lcof/solution/dong-tai-gui-hua-by-shy-14/

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