数据结构（廿一） -- C语言版 -- 图 - 图的基本概念

秒速五厘米 2023-02-24 03:55 11阅读 0赞

### 内容预览 ###

*  零、读前说明
 *  一、概述
 *  二、图的定义以及相关概念
 *   *  2.1、图的定义
     *  2.2、有向和无向
     *  2.3、邻接关系和关联关系
     *  2.4、度
     *  2.5、路径和环路
     *  2.6、子图
     *  2.7、连通图
 *  三、简单的总结

# 零、读前说明 #

*  本文中没有涉及到很多的相关理论知识，也没有做深入的了解，所以，您如果是想要系统的学习、想要多学习关于理论的知识等，那么本文可能并不合适您。
 *  本文中所有设计的代码均通过测试，并且在功能性方面均实现应有的功能。
 *  设计的代码并非全部公开，部分无关紧要代码并没有贴出来。
 *  如果你也对此感兴趣、也想测试源码的话，可以私聊我，非常欢迎一起探讨学习。
 *  由于时间、水平、精力有限，文中难免会出现不准确、甚至错误的地方，也很欢迎大佬看见的话批评指正。
 *   嘻嘻。。。。 。。。。。。。。收！

# 一、概述 #

日常生活中，出门在外，少不了怎么走，去哪儿的问题，在现在条条大路通罗马的情况下，更少不了好好规划选择合适的方式。而在不熟悉路况的情况下，某某导航简直就是神仙，那在这些中，“**图**” 或多或少的扮演者重要的角色。

关于图的内容与知识过于庞大和复杂，我们浅尝辄止，切勿过分沉迷！！！

图（ Graph）是一种较线性表和树更为复杂的数据结构，在线性表中，数据元素之间仅有线性关系，每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后继；在树形结构中 ，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每一层上的数据元素可能和下一层中多个元素（即其孩子节点）相关 但只能和上一层中一个元素（即其双亲节点） 相关，而在图形结构中，结点之间的关系可以是任意的 ，图中任意两个数据元素之间都可能相关。

下面首先来看看几个示意图，如下图所示。   
    
![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poZW1pbmdidWhhbw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center][]

图 1.1 示意图

右上图中可以看出来，(a)为线性表（链表），(b)为树，(c)、(d)、(e)分别为图，同样地，线性表和树也可以看做是一种特殊的树。其中关系可以表示为下图这样。

![20200714140115336.png_pic_center][]

图 1.2 线性表、树、图的关系示意图

相对于线性结构和树结构，图对元素的限定少，所以图用来描述应用问题的能力也就相对强。

# 二、图的定义以及相关概念 #

## 2.1、图的定义 ##

图 （ Graph）是由**顶点的有穷非空集合**和**顶点之间边的有穷集合**组成。通常可以表示为  G r a p h = ( V , E ) Graph=(V, E) Graph=(V,E)  其中：  
     V ： V = \{ x ∣ x ∈ 数 据 对 象 \} V：V=\\\{ x | x∈数据对象\\\} V：V=\{ x∣x∈数据对象\}, 图的顶点的有穷（有限个）非空（至少有一个）集合  
     E ： E = \{ ( x , y ) ∣ x , y ∈ V \} E：E=\\\{ (x, y) | x,y∈V\\\} E：E=\{ (x,y)∣x,y∈V\}，顶点与顶点之间的关系的有穷集合，也叫作边（ Edge）集合

将 **顶点的集合的数量** 记做  n n n，那么  n = ∣ V ∣ n=|V| n=∣V∣  
  将 **边集合的数量** 用  e e e 来表示，那么  e = ∣ E ∣ e=|E| e=∣E∣

所以，上图1.1中所有图例均为“ **图** ”（点我查看图1.1详情）。

需要数以的几个地方：

1、线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫节点 ，在图中数据元素就们则称之为顶点（Vertex)

2、线性表中可以没有数据元素，没有元素的称为空表，在树中也可以没有节点称为空树，但是在图中，非常强调是非空，也就是没有空图

3、线性在中相邻的数据元置之间具有钱性关系，树结构中相邻两层的节点具有层次关系 ，而在图中任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的

## 2.2、有向和无向 ##

首先，如下图所示，分别来表示**无向边（图）、有向边（图），混合图**。

![!\[\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200714150049319.png][https_img-blog.csdnimg.cn_20200714150049319.png]

图 2.1 无向、有向，混合示意图

**无向**：两个顶点  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 构成 边的没有方向，顶点  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 没有具体的先后问题，只用来表示  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 的链接关系，则称呼  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 形成的边 (  V i V\_i Vi ,  V j V\_j Vj ) 或者 (  V j V\_j Vj ,  V i V\_i Vi ) 为**无向边**( Undirected edge，用圆括弧来表示)。 如果所有边均为无向边所构成的图，称为无向图。  
  比如：A 是 C 是好朋友，同样 C 也是 A 的好朋友

**有向**：构成边的两个顶点  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 有具体的先后问题 ，并且<  V i V\_i Vi ,  V j V\_j Vj >和<  V j V\_j Vj ,  V i V\_i Vi >表示不同的含义 则称呼  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 形成的边为**有向边**(用尖括弧来表示，也称为 **弧** )。如果所有边均为有向边所构成的图，称为有向图 。那对于边<  V i V\_i Vi ,  V j V\_j Vj >, 称  V i V\_i Vi 为**尾**，  V j V\_j Vj 为**头**  
  比如： A 欠 D 的金钱

**混合**：如果一个图中，有一些边是有向的，有一些边是无向的，称之为混合图（mixed graph ），在实际表示中，可以用有向图来表示无向图以及混合图，只需要：**将任何一条无向边转换为彼此对称的一对有向边**，如下图所示。  
    
![20200714144821968.png_pic_center][]

图 2.2 无向转有向示意图

**简单图**：在图中不存在顶点到自身的边，且同一条边只出现一次。  
  
![在这里插入图片描述][20200715142504440.png_pic_center]

图 2.3 无向完全图、有向完全图示意图

**无向完全图**：指的是在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边的图（上图1.5中(a)）。

无向完全图含有  n n n 个顶点的无向完全图有  n × ( n − 1 ) 2 n \\times (n-1)\\over 2 2n×(n−1) 条边。

**有向完全图**：指的是在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为反向的两条边的图（上图1.5中(b)）。

有向完全图含有  n n n 个顶点的有向完全图有 n × ( n − 1 ) n\\times(n-1) n×(n−1)条边。

## 2.3、邻接关系和关联关系 ##

**邻接关系**：顶点与顶点之间的关系，对应于顶点与顶点的关系。

对于线性的结构，只有 **互为前驱和后继** 的元素节点才能定义这种邻接关系  
    对于树结构，也只有 **父节点与子节点** 之间可以定义邻接关系  
    图中允许 **任意两个节点** 之间存在邻接关系，但是也有一种特殊情况，一个元素与自身形成邻接关系（上图1.1中(e)所示）（点我查看图1.1详情）。

**关联关系**：参与定义这种邻接关系的每一个顶点与这个邻接关系之间的关系，对应于顶点与边的关系。

对于 **无向图**  G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)，如果边  ( V 1 , V 2 ) ∈ E (V1, V2)∈E (V1,V2)∈E，则成顶点  V 1 V1 V1 和  V 2 V2 V2 互为 **邻接点**，即  V 1 V1 V1 和  V 2 V2 V2 邻接。边  ( V 1 , V 2 ) (V\_1,V\_2) (V1,V2) 依附于顶点  V 1 V1 V1、 V 2 V2 V2 ，也就是说边  ( V 1 , V 2 ) (V\_1,V\_2) (V1,V2) 与顶点  V 1 V\_1 V1、 V 2 V\_2 V2 相关联。

## 2.4、度 ##

顶点  V V V 的度是和  V V V 相关联的边的数目，记为  T D ( v ) TD(v) TD(v)，比如上图1.1中图(a)中，和顶点 A 相关的边有 3 条，所以顶点 A 的度为 3。

对于有向图，还有入度和出度的区别。

**入度**：以  V V V 为 **头** 的边的数目，记为  I D ( v ) ID(v) ID(v)，比如上图1.1中(b)所示， A 的入度为 1。  
    **出度**：以  V V V 为 **尾** 的边的数目，记为  O D ( v ) OD(v) OD(v)，比如上图1.1中(b)所示， A 的出度为3。

根据上面的说明，在一个有向图中，我们可以得出下列的简单总结：

1、顶点度等于出度和入度之和，即  T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v ) TD(v) = ID(v) + OD(v) TD(v)=ID(v)\+OD(v)

2、图中边的数目等于顶点的度的和的一半，即  E = E = E=  ( T D ( v 1 ) + T D ( v 2 ) + … + T D ( v n ) ) 2 (TD(v\_1) + TD(v\_2) + … + TD(v\_n)) \\over 2 2(TD(v1)\+TD(v2)\+…\+TD(vn))

3、边的数目等于所有顶点的入度的和，即  E = I D ( v 1 ) + I D ( v 2 ) + … + I D ( v n ) E = ID(v\_1) + ID(v\_2) + … + ID(v\_n) E=ID(v1)\+ID(v2)\+…\+ID(vn)

4、边的数目等于所有顶点的出度的和，即  E = O D ( v 1 ) + O D ( v 2 ) + … + O D ( v n ) E = OD(v\_1) + OD(v\_2) + … + OD(v\_n) E=OD(v1)\+OD(v2)\+…\+OD(vn)

## 2.5、路径和环路 ##

首先，来一张图来表示，然后再开始说。

![20200714163843719.png_pic_center][]

图 2.4 简单路径、环的示意图

**路径**：由一系列的顶点按照依次邻接的关系组成的序列，表示为  π = < v 0 , v 1 , … v m > π = <v\_0, v\_1, … v\_m> π=<v0,v1,…vm> ，路径的长度  ∣ π ∣ = m | π | = m ∣π∣=m

比如：从顶点 “C -> A -> D -> B” 的过程，构成了一个长度为 3 的路径。**像这样不含重复节点的路径，称为简单路径**（ simple path ）。再比如：从顶点 "C -> A -> B -> A -> D"的过程，构成了一个长度为 4 的路径，但是路径中同一个顶点出现了 2 次，称之为 **不简单路径** 或者 **路径**。

如果出现  v 0 = v m v\_0=v\_m v0=vm，则形成 **环/环路**。

比如图中路径 “C -> A -> D -> C” 形成 **环路**  
  再比如图中路径 “C -> A -> B -> A -> C” 同样形成 **环路**

同样的，**不包含重复的顶点则称为简单环路，否则为不简单环路或者环路**。

再来一张图片，如下图所示。  
![20200716170427507.png_pic_center][]

图 2.5 有向无环图、欧拉环、哈密尔顿环示意图

如果在一个有向图中**不包含任何环路**，则称之为 **有向无环图**（上图2.5中(a)所示）。

从任何一个顶点出发，将所有的边组成一个环路，这样经过所有的边 **一次而且恰好一次** 的环路称为 **欧拉环路**（ Eulerian tour，上图2.5中(b)所示）。

经过每一个顶点一次，而且 **恰好一次**（ “C -> A -> D -> B -> C” ），则称之为 **哈密尔顿环路**（ Hamiltonian tour，上图2.5中(c)所示 ）。

**权** (weight)：和边相关的数字，通常用来表示顶点之间的距离或者耗费。这种**带权的图**通常称为**网**（ Network）。

## 2.6、子图 ##

假设有两个图分别为  G r a p h 1 = ( V 1 , E 2 ) Graph\_1=(V\_1,E\_2) Graph1=(V1,E2) 和  G r a p h 2 = ( V 2 , E 2 ) Graph\_2=(V\_2,E\_2) Graph2=(V2,E2) ，如果顶点  V 2 ⊆ V 1 V\_2\\subseteq V\_1 V2⊆V1 并且  E 2 ⊆ E 1 E\_2\\subseteq E\_1 E2⊆E1, 那么称  G r a p h 1 Graph\_1 Graph1 为  G r a p h 2 Graph\_2 Graph2 的 **子图**（subGraph）。

比如下图所示，箭头右边的均为左边的子图。

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图 2.6 子图示意图

## 2.7、连通图 ##

在 **无向图**  G r a p h Graph Graph 中，如果从顶点  V 1 V\_1 V1 到顶点  V 2 V\_2 V2 有路径，则称为  V 1 V\_1 V1 和  V 2 V\_2 V2 是 **连通** 的。

如果对于图中 **任意两个顶点**  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj 都是连通的，则称  G r a p h Graph Graph 是 **连通图**（connectedGraph），如上图 2.3 中 （a） 所示（点我查看图2.3详情）。

**连通分量**：无向图中的极大连通子图

在 **有向图**  G r a p h Graph Graph 中，如果对于 **每一对**  V i V\_i Vi 和  V j V\_j Vj **都存在路径**，则称  G r a p h Graph Graph 为 **强连通图**。

**有向图** 中极大强连通子图称为**有向图的强连通分量**。

比如下图中 (a) 为 强连通图，并且 (a) 为 (b) 的极大强连通图，也是其强连通分量。  
![在这里插入图片描述][2020071523190386.png_pic_center]

图 2.7 极大强连通图示意图

**连通图的生成树**：指的是一个 **极小的联通子图**，含有图中 **全部的顶点** (比如有  n n n 个顶点 )，但是只有足以构成一棵树的  n − 1 n-1 n−1 条**边**。

如下图所示，图 (a) 中的图有 7 个顶点，但是 8 条边，如果想要成为生成树的话，需要删除两条边，如图 (b) 所示即为生成树，但是同样的去掉原本图中的两条边，如图 (c) 所示，就不是生成树。

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图 2.8 生成树示意图

所以， 满足  n n n 个顶点  n − 1 n-1 n−1 条边的图，不一定就是 **生成树**，但是生成树一定满足  n n n 个顶点  n − 1 n-1 n−1 条边。

如果有一个 **有向图恰有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1，则是一个有向树**。

如下图所示中 (a) 为一个普通的有向图，其中还有 7 个顶点， 10 条边，那么删除 (a) 中的部分边，让其满足n-1的条件（需要删除 4 条边），删除后如 (b) 所示。那么在 (b) 中，就是一个生成的 **有向树**。

![20200717172650734.png_pic_center][]

图 2.9 生成有向树示意图

# 三、简单的总结 #

从上一篇 **霍夫曼树** 到现在，经历了很长的时间，一者项目处于紧要时期比较忙，业余时间少；二者图部分的内容用的比较少，虽然在以前图相关的内容曾经学过，虽也学的一知半解，所以基本上属于大白的状态。所以迟迟没有开始。

细回想当初开始编写数据结构相关博客的时候，由于在二月份开始居家办公时间，业余时间比较宽裕，但是从三月份开始办公室办公，工作内容繁杂基本没有什么空闲时间，但是一直坚持每天一个字一个字的更新博客，也基本上保证每周更新一篇博客，一直到现在才将顺序表链表栈队列树的内容完成，虽然数量有限但是保证写的详细、力争无错误。虽然源码没有全部贴出来，但是各种测试案例测试效果保质保量。

总结各种知识点，不光要参考各种书本，还要自己理解并加以描述，其实是很枯燥的，而且本来图这部分内容相当于重新学习一遍，所以进度很缓慢。虽然阅读量不曾增加也貌似没什么评论或者鼓励的，但是于己于人，我想我都会坚持下去，坚持将基本的数据结构、基本的排序等用自己的方式总结出来。**加油吧！！！**

好啦，废话不多说，总结写作不易，如果你喜欢这篇文章或者对你有用，请动动你发财的小手手帮忙**点个赞**，当然**关注一波**那就更好了，好啦，就到这儿了，么么哒(\* ￣3)(ε￣ \*)。

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