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逃离我推掉我的手 2023-02-14 15:44 5阅读 0赞

前置内容：  
条件充分题理解：由选项可以推出题干是正确的，则为充分

### 第一章：实数的运算和性质 ###

常用解题思路：

1.  几何题型  
    球的体积和面积![球的体积=4/3][4_3]
2.  对于垂直的两条直线k1k2 = -1  
    1.![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
    2.余数一些题型的做题方法：讲题意转化为式子后，如果式子的前后两值都比另一个式子大，就可以用下图方法计算（大的拆为小的）  
    ![在这里插入图片描述][20200916175146504.png_pic_center]  
    如果式子的前值大后值小，则用下图方法计算（只将前者的大值替换）  
    ![在这里插入图片描述][20200916180354836.png_pic_center]
3.  如果质数题中出现运算式，则需要判断每个值是奇数还是偶数（以2入手列举）
4.  积累  
    a+b=5  
    1+ab=7,则a=2，b=3；  
    根号2约等为1.4；根号3约等为1.73；根号5约等为2.24；
5.  循环小数换算分数的方法，直接分母为循环节的个数个9（如循环节有3位，则分母为999，如有4位，则分母为9999），分子为循环节![在这里插入图片描述][20200916185713222.png_pic_center]
6.  有理数和无理数运算注意以下公式，且计算时要注意拆分，遇到分母为无理数是计算要考虑分母有理化![在这里插入图片描述][20200916191424766.png_pic_center]
7.  平方差公式  
    ![在这里插入图片描述][20200916193209467.png_pic_center]
8.  重点运算技巧的补充  
    \[解题提示\] 熟练掌握等差、等比数列的求和公式及整式运算法则，及分组求和、裂项相消等求和方法。  
    （1）凑平方差法  
    ![在这里插入图片描述][20200916195158967.png_pic_center]  
    （2）多个数字相加，观察公共部分  
    ![在这里插入图片描述][20200916195608957.png_pic_center]  
    （3）遇到平方需要想到裂项  
    ![在这里插入图片描述][20200916195822502.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20200924150620193.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20200924183555690.png_pic_center]  
    六、韦达定理  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
    一. 常见的概念

*  整数（Z）：所有的整数（包括0）
 *  正整数(Z+)：所有正的整数，包括质数（也称素数，只有1 和自身两个约数,最小的质数为2，且是唯一的偶质数）、合数（有除1 和自身以外的约数）、1
 *  负整数(Z-)：所有负的整数
 *  自然数(N)：0和正整数
 *  有理数（Q）：分子分母都为整数，可除尽时是整数，否则便是分数。
 *  有理数可分为整数、有限小数、无限循环小数
 *  无理数：指无限不循环小数，常见：派＝3.14159，根号2＝1.414
 *  实数（R）：有理数和无理数统称为实数
 *  能被 2 整除的数：个位为 0，2，4，6，8
 *  能被 3 整除的数：各位数字之和必能被 3 整除。
 *  能被 4 整除的数：末两位（个位和十位）数字必能被 4 整除。
 *  能被 5 整除的数：个位为 0 或 5
 *  能被 9 整除的数：各位数字之和必能被 9 整除。
 *  最大公因数求解方法：（见下图，分别求出，然后相乘，so：15和30 的最大公因数就是15）  
    ![在这里插入图片描述][20200603164833314.png]
 *  最小公倍数求解方法：也是和上面一样使用短除法，但是需要和结果再相乘，so：24和32 的最小公倍数为4x2x3x4=96  
    ![在这里插入图片描述][20200603174623634.png]  
    两个以上的数字的最小公倍数求解方法：（拆为最小单位的质数，然后每个质数出现的最多次数x该质数）图中的最小公倍数应该为2*2*3*2*5\*1  
    ![在这里插入图片描述][20200916165810355.png_pic_center]
 *  两个整数的乘积等于他们的最大公约数和最小公倍数的乘积
 *  两个数的最大公约数 x 最小公倍数 = 两个数乘积  
    二.实数的运算  
    1.若 a 是任意实数，则a^2>=0;  
    2.乘方运算中，有以下算法  
    ![在这里插入图片描述][20200617184607124.png]  
    3.开方运算中，有以下规律
 *  在实数范围内，负实数无偶次方根；0 的偶次方根是 0；正实数的偶次方根有两个，且互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。如：当 a>0 时，a 的平方根是 正负根号a ，其  
    中正根号 a 是正实数 a 的算术平方根
 *  常用公式：

1.分母有理化：a^2 -b^2=(a+b)(a-b)

2.裂项：只能在分子为1时用![在这里插入图片描述][20200618174951899.png]  
三.比例  
做题常用方法：  
代值法（如果只有一个公式，就用此法）；等比定理；比值等于一个k；有理化；画图  
常用公式

*  比例 相等的比称为比例，记作 a:b=c:d 。其中 a 和 d 称为比例外项，b 和 c 称为比例内项，若a:b=b:c ，其中b称为a、c的中项  
    **（2）比例的基本性质★★  
    ① a :b = c : d <=> ad = bc  
    ② a :b = c : d <=> b : a = d : c <=> b : d = a : c <=> d :b = c : a**
 *  使用时要注意-》分子相加为0的特殊性狂情况，遇到这个情况使用特值法计算![在这里插入图片描述][2020061818163257.png]  
    **四.绝对值**（重点）  
    做题的重点就是去掉绝对值符号：  
    （1）确定绝对值符号内式子的符号，去掉绝对值符号；  
    （2）利用平方法去掉绝对值符号；  
    （3）注意非负性；  
    ![在这里插入图片描述][20200924175302738.png_pic_center]  
    注意三个数字开平方  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
    ![在这里插入图片描述][20200924181903877.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20200924182327543.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20200924182407372.png_pic_center]

![在这里插入图片描述][20200924180357306.png_pic_center]

1.常用的定义  
![在这里插入图片描述][20200618182604414.png]  
3.常用公式：  
![在这里插入图片描述][20200618183451914.png]  
利用数轴就可推导出下面公式  
![在这里插入图片描述][20200618184957218.png]  
![在这里插入图片描述][20200619093108414.png]  
**4.求绝对值最值★★★★**  
常规方法：分段讨论法去绝对值符号，根据图像判断最值（画图）  
常见题为多个绝对值式子（两个则两个拐点，即三段），采用**描点看边取拐点法**，  
有两个常用公式：

*  |x-a|+|x-b|的 最小值是|a-b|
 *  |x-a|-|x-b|的 最大值是|a-b|，最小值是-|a-b|

五.平均数  
1.算数平均数-> (x+y)/2 （对所有实数都可）  
几何平均数-> 根号下x·y（只对正数有效）  
**常考以下公式** 要注意几何平均数必须时正实数  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
求最大最小值时考虑下列公式（均值公式，必背）  
![在这里插入图片描述][20200925174049913.png_pic_center]  
由上述公式引申出三个值的计算公式  
![在这里插入图片描述][20200925174348898.png_pic_center]

注意：公式①～⑥当且仅当各字母均相等时等号成立

新平方差公式（要带未知数时用）  
![在这里插入图片描述][20200925173611613.png_pic_center]

### 第二章： 整式与分式的运算 ###

一、基本公式  
![在这里插入图片描述][20200925175309862.png_pic_center]

注：上面所列公式从左推向右, 是乘法公式; 而从右推向左则是因式分解公式 ,因为它们都是恒等式, 对所含字母的任意实数值, 原式均成立。

2. 做题技巧：  
因式分解如果成立，则代入值整体应为0；  
十字相乘法；  
多次方展开，带入1、-1、0等观察规律  
![多次方展开题目示例][20200928195032340.png_pic_center]

形如下图（有x 、y 的平方，有xy项，且有单独的x项和y项），则使用双十字相乘法  
![在这里插入图片描述][20200928191511253.png_pic_center]  
![双十字相乘法详解][20200928191706568.png_pic_center]  
快速获取多次项公式指数  
![在这里插入图片描述][20200928193528226.png_pic_center]  
3. 因式定理  
![在这里插入图片描述][20200928200506808.png_pic_center]  
5. 余式定理（公式）  
![在这里插入图片描述][20200928200341147.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][20200928200717162.png_pic_center]  
== 化简求值类型的一些技巧：  
两式相加/减；整体假设；迭代降次（高次幂用低次幂替换）；特值法  
公共跟问题：一般是假设跟为t带入，然后对式子做加法或减法（一般三个式子做加法/两个式子做减法） ==

# 不理解得题 #

![在这里插入图片描述][20200930181847180.png_pic_center]

### 第三章 方程、函数与不等式 ###

### 一. 解题技巧 ###

1.  不等式的两边，对于正数可以直接忽略；多考虑变形
2.  由前者可推出后者![在这里插入图片描述][20201016165542370.png_pic_center]
3.  准确获取信息（题目所给两式格式相同时，要想到所求值为起两跟（一定要注意两者可能相等），求根时先用韦达d定理套用）  
    ![在这里插入图片描述][20201016165641736.png_pic_center]  
    4. 二次方程根的判别式问题,主要就是（b2-4ac）的范围问题，注意一些临界值0

### 二、韦达定理的扩展以及应用 ###

1.  利用韦达定理可以简化的两根的求值  
    ![在这里插入图片描述][20201016173735421.png_pic_center]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
2. 根的区间问题  
（1）正负根问题——利用韦达定理和“△”  
![在这里插入图片描述][20201019162044253.png_pic_center]  
（2）区间根问题——数形结合（常用）（共四种情况，1、4两种情况时间不充足可放弃）  
对称轴：-b/2a  
开口方向：a的正负  
顶点坐标（-b/2a,(4ac-b²)/4a)  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
对于“△”必须能开出的题目的运算方法（一般选择题就使用带入法即可）  
![在这里插入图片描述][20201019164904265.png_pic_center]  
3、恒成立问题  
若a中含有字母，注意a为0得情况，充分利用所有条件  
4. 特殊函数、方程、不等式  
遇到对数、指数方程，尽量数形结合，（指数方程一般都是整体换元）  
对于底数小于1的指数函数，换算对数方程要修改符号  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
5. 分式方程以及增根问题  
![在这里插入图片描述][20201019175446890.png_pic_center]  
公分母为0时的x为增根  
6. 解高次不等式  
（1）将所有式子换算为一次项式，（2）根据式子整体的次幂来画图（口诀：奇穿偶不穿，见下图）  
![在这里插入图片描述][2020101918132373.png_pic_center]

### 第四章 应用题 ###

一、工程问题  
![在这里插入图片描述][20201104193144844.png_pic_center]  
二、路程问题  
![在这里插入图片描述][2020110419391854.png_pic_center]  
若车有长度：  
（相向而行）相遇时间计算公式为t = 长度之和/速度之和  
（同向而行）相遇时间计算公式为t = 长度之和/速度之差  
追击问题：  
速度快的一定比速度慢的多走了一个圈的路程，速度即有效速度（相同方向相减，相反方向相加）  
三、溶液问题  
稀释后的浓度（此公式只适用于倒出多少补多少的题目）（v原有的溶液体积，x原有浓度，1倒出溶液体积）  
![在这里插入图片描述][20201109182107643.png_pic_center]  
四、最值问题  
共三种题型，第二类可放弃  
![在这里插入图片描述][2020110918434084.png_pic_center]  
【解题提示】这类问题的最值函数通常是二次函数形式或均值不等式，再利用这两个数学工具求最值的方法来求解.  
**1. 降价提高销量，求降价多少才能有最高利润：列出二元方程，**  
2. 线性规划问题  
会有限制（不能超过什么\\必须运完什么\\有任务的\\至少要完成什么\\最多用多少人）  
先列两个不等式，将不等式看作等式求解，解出几个数字一一排除对比，最后排除不了的带入目标式子计算

### 第五章、几何题 ###

1.  常见勾股数 5、12、13
2.  复杂的几何图形要找相似比（对应的比例，根据图形画）
3.  常见扇形分割![在这里插入图片描述][20201110194301585.png_pic_center]

### 第六章 数列 ###

#### 一、等差数列 ####

1.  看见数列最先想到代值
2.  等差数列  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]
3.  高斯公式  
    和=（首项+末项）乘 项数 除2  
    末项＝首项＋（项数－1）乘 公差  
    项数＝（末项－首项）除以 公差＋1
4.  整体考虑，等差数列的一个片段也是等差数列
5.  等差数列取最值  
    ![在这里插入图片描述][20201112172546457.png_pic_center]
6.  巧用下标  
    7. 对于s（等差数列和）的角标成倍数关系，此时可考虑成片分析，如下图（但要注意，后面每段是和的差，而不是和，如下a3至a6的和为s6减s3）：这种方法常搭配见比设数（eg：s3/s6 = 1/2，则设s3 = 1，s6 = 2）的方法使用  
    ![在这里插入图片描述][20201112182757316.png_pic_center]
7.  对于奇偶性的技巧：如下图：偶数和 - 奇数和 = 50d（d为等差数列的差值）  
    ![在这里插入图片描述][20201112184409909.png_pic_center]

#### 二、等比数列 ####

1.  常用公式（最常用的前n项和）  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

### 第七章 排列组合 ###

技巧：  
排列组合的解一般都是整数；  
需要排序为排列，不需要为组合；  
题目中出现每次选择不完全相同则为组合  
该题型主要分两步  
![在这里插入图片描述][20201020163046156.png_pic_center]

#### 一、两个基本原理★★★ ####

1.加法（分类）原理  
完成一件事有 n 类办法,只要选择其中任何一类办法中的任何一种方法,就可以完成这件事。  
2.乘法（分步）原理  
如果完成一件事，必须依次连续地完成 n 个步骤，这件事才能完成.

#### 二、排列数 ####

1.  阶乘  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

#### 三、组合数![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9] ####

#### 四、经典题型 ####

1.  住店问题，正常是人去选物，（此题型需注意是否大家可以选同一个（例如冠军问题就无法选同一个，此时就是冠军去选人））  
    ![在这里插入图片描述][20201020172957287.png_pic_center]  
    ![在这里插入图片描述][20201021181647739.png_pic_center]  
    2. 有限制条件的排列组合问题（典型模型：站队问题）  
    （1）优先法（特殊位置优先或特殊元素优先）  
    对元素或位置有特殊要求的排列组合问题，可以先从特殊元素或特殊位置着手，先解决特殊元素或特殊位置，再考虑其他元素或位置. （2）捆绑法——相邻问题，把相邻的 k 个元素看作一个元素与其它元素排列，然后再考虑k 个元素排列.  
    （3）插空法——不相邻（相间）问题  
    首先将不受限制条件的元素排列起来，然后再在每两个元素之间（含这些元素的两端）插入不能排在一起的元素.  
    （4）排除法—从总体中排除不符合条件的方法数.  
    练手题：  
    ![在这里插入图片描述][2020102118154414.png_pic_center]
2.  数字问题，（  
    要注意是否可重复，如可重复，参考上面1中的住店问题；  
    不可重复则使用2中方法）  
    ![在这里插入图片描述][20201021181617648.png_pic_center]
3.  **均匀与不均匀分组问题(分组与分堆问题)**  
    **（1）均匀分组与不均匀分组  
    如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组。  
    （2）小组有名称或小组无名称  
    只是简单地分组即可，不考虑组别关系，则小组无名称（定义为“分堆问题”），如果分为 A 组，B 组，C 组，或者种子队，非种子队等等，则小组有名称。  
    ★★★重点：如果均匀分组，并且无名称，需要消序（消序即：要除以重复堆数的全排列）  
    其余情况均不需要消序！！**  
    ![在这里插入图片描述][202010211817207.png_pic_center]
4.  不同元素分组问题——先分组再分配  
    ★★★做题技巧：若分为n，1，1，1，1这样得形式，则直接![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 10]

### 第八章 概率问题 ###

答题技巧：  
遇到至少问题，从反面入手，总的减去不会出现的概率；  
贝努利概型一般会告诉一种情况的概率

#### 一、基础概念 ####

1.  事件的和（并集）  
    ![在这里插入图片描述][20201022172056884.png_pic_center]
2.  事件的积（交集）
3.  互不相容（反对）：若事件 A 与事件 B 不能同时发生  
    ![在这里插入图片描述][20201022173220263.png_pic_center]
4.  对立事件（矛盾）：称事件 A 不发生的事件为 A 的对立事件，  
    ![在这里插入图片描述][20201022173239500.png_pic_center]

#### 二、古典概型★★★ ####

1.基本事件  
在一次随机试验中，如果一个事件满足下面两个特点：  
（1）任何两个基本事件是互斥的；  
（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 我们就把这类事件称为一个基本事件.  
2.古典概型  
古典概型的概率计算公式为 P(A) = A包含的基本事件个数 /总的基本事件个数  
eg:  
![在这里插入图片描述][20201022174224721.png_pic_center]![答案][20201022174206884.png_pic_center]

#### 三、事件的独立性★★★ ####

独立事件：设 A,B 是两个事件，事件 A 的发生和事件 B 的发生互不影响  
对于相互独立的事件 A 和 B，有 P(AB) =P(A)P(B)

#### 四、贝努利概型★★★ ####

在贝努利概型中，A事件发生概率为p ，则在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k(0 < k < n) 次的概率的计算公式为：![在这里插入图片描述][20201022180822405.png_pic_center]

### 第九章 排列组合及概率的经典问题 ###

1.  计算数字的整除问题：常用思路：数字分类，然后分别组合  
    eg：![在这里插入图片描述][20201027184350336.png_pic_center]
2.  等差公式：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 11]
3.  相同元素分组  
    ![在这里插入图片描述][20201027190637215.png_pic_center]  
    若盒子可为空时，则为  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 12]  
    遇到以下问题也要想到用上述方法  
    ![在这里插入图片描述][20201027191628801.png_pic_center]
4.  乱序配对问题（记住即可）  
    ![在这里插入图片描述][20201027191851969.png_pic_center]
5.  题目中出现所选对象中不能有XXX时，分母正常，分子计算时直接去掉即可
6.  取球问题如果未强调相同，则为不同的球

[4_3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20201223161101726.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200915174905334.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2dlZ2VwaHA=,size_16,color_FFFFFF,t_70#pic_center
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