一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）

浅浅的花香味﹌ 2023-02-14 01:46 152阅读 0赞

## 要解决的问题 ##

在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x\_i,y\_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+b f(x)=kx\+b

这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。类似的，假如模型有 n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。

但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据 ( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x\_1, y\_1)..,(x\_n, y\_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01vcmVBY3Rpb25f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能**求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合**。那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？

早在19世纪，勒让德就认为让“**误差的平方和最小**”估计出来的模型是最接近真实情形的。

为什么就是误差平方而不是其它的，这个问题连欧拉、拉普拉斯都未能成功回答，后来是高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了确实是使误差平方和最小的情况下系统是最优的。理论的证明也并不难，如果你了解了会有更深刻的认识，限于篇幅我会写在另外一篇博客。

按照勒让德的最佳原则，于是就是求：  
 L = ∑ 1 n ( y i − f ( x ) ) 2 L=\\sum\_\{1\}^\{n\}\\left(y\_i-f(x)\\right)^\{2\} L=1∑n(yi−f(x))2  
这个目标函数取得最小值时的函数参数，这就是最小二乘法的思想，所谓“二乘”就是平方的意思。从这里我们可以看到，**最小二乘法其实就是用来做函数拟合的一种思想**。

至于怎么求出具体的参数那就是另外一个问题了，理论上可以用导数法、几何法，工程上可以用梯度下降法。下面以最常用的线性回归为例进行推导和理解。

## 线性回归 ##

线性回归因为比较简单，可以直接推导出解析解，而且许多非线性的问题也可以转化为线性问题来解决，所以得到了广泛的应用。甚至许多人认为最小二乘法指的就是线性回归，其实并不是，最小二乘法就是一种思想，它可以拟合任意函数，线性回归只是其中一个比较简单而且也很常用的函数，所以讲最小二乘法基本都会以它为例。

下面我会先用矩阵法进行推导，然后再用几何法来帮助你理解最小二乘法的几何意义。

### 矩阵解法 ###

线性回归定义为： h θ ( x 1 , x 2 , … x n − 1 ) = θ 0 + θ 1 x 1 + … + θ n − 1 x n − 1 h\_\{\\theta\}\\left(x\_\{1\}, x\_\{2\}, \\ldots x\_\{n-1\}\\right)=\\theta\_\{0\}+\\theta\_\{1\} x\_\{1\}+\\ldots+\\theta\_\{n-1\} x\_\{n-1\} hθ(x1,x2,…xn−1)=θ0\+θ1x1\+…\+θn−1xn−1（ θ \\theta θ为参数）假设现在有 m m m个样本，每个样本有 n − 1 n-1 n−1维特征，将所有样本点代入模型中得：  
 h 1 = θ 0 + θ 1 x 1 , 1 + θ 2 x 1 , 2 + … + θ n − 1 x 1 , n − 1 h 2 = θ 0 + θ 1 x 2 , 1 + θ 2 x 2 , 2 + … + θ n − 1 x 2 , n − 1 ⋮ h m = θ 0 + θ 1 x m , 1 + θ 2 x m , 2 + … + θ n − 1 x m , n − 1 \\begin\{array\}\{l\} h\_\{1\}=\\theta\_\{0\}+\\theta\_\{1\} x\_\{1,1\}+\\theta\_\{2\} x\_\{1,2\}+\\ldots+\\theta\_\{n-1\} x\_\{1,n-1\} \\\\ h\_\{2\}=\\theta\_\{0\}+\\theta\_\{1\} x\_\{2,1\}+\\theta\_\{2\} x\_\{2,2\}+\\ldots+\\theta\_\{n-1\} x\_\{2,n-1\}\\\\ \\vdots \\\\ h\_\{m\}=\\theta\_\{0\}+\\theta\_\{1\} x\_\{m, 1\}+\\theta\_\{2\} x\_\{m, 2\}+\\ldots+\\theta\_\{n-1\} x\_\{m, n-1\} \\end\{array\} h1=θ0\+θ1x1,1\+θ2x1,2\+…\+θn−1x1,n−1h2=θ0\+θ1x2,1\+θ2x2,2\+…\+θn−1x2,n−1⋮hm=θ0\+θ1xm,1\+θ2xm,2\+…\+θn−1xm,n−1为方便用矩阵表示，我们令 x 0 = 1 x\_0=1 x0=1，于是上述方程可以用矩阵表示为：  
 h = X θ \\mathbf\{h\}=\\mathbf\{X\} \\theta h=Xθ其中， h \\mathbf\{h\} h为mx1的向量, 代表模型的理论值， θ \\theta θ 为nx1的向量， X X X为mxn维的矩阵， m m m代表样本的个数, n n n代表样本的特征数，于是目标损失函数用矩阵表示为：  
 J ( θ ) = ∥ h − Y ∥ 2 = ∥ X θ − Y ∥ 2 = ( X θ − Y ) T ( X θ − Y ) J(\\theta)=\\|\\mathbf\{h\}-\\mathbf\{Y\}\\|^2 =\\|\\mathbf\{X\}\\theta-\\mathbf\{Y\}\\|^2= (\\mathbf\{X\} \\theta-\\mathbf\{Y\})^\{T\}(\\mathbf\{X\} \\theta-\\mathbf\{Y\}) J(θ)=∥h−Y∥2=∥Xθ−Y∥2=(Xθ−Y)T(Xθ−Y)其中 Y \\mathbf\{Y\} Y是样本的输出向量, 维度为mx1。

根据高数知识我们知道函数取得极值就是导数为0的地方，所以我们只需要对损失函数求导令其等于0就可以解出 θ \\theta θ。矩阵求导属于矩阵微积分的内容，我也是现学的(…，这里先介绍两个用到的公式：  
 ∂ x T a ∂ x = ∂ a T x ∂ x = a \\frac\{\\partial x^\{T\} a\}\{\\partial x\}=\\frac\{\\partial a^\{T\} x\}\{\\partial x\}=a ∂x∂xTa=∂x∂aTx=a ∂ x T A x ∂ x = A x + A T x \\frac\{\\partial x^\{T\} A x\}\{\\partial x\}=A x+A^\{T\} x ∂x∂xTAx=Ax\+ATx如果矩阵A是对称的： A x + A T x = 2 A x A x+A^\{T\} x=2 A x Ax\+ATx=2Ax对目标函数化简：  
 J ( θ ) = θ T X T X θ − θ T X T Y − Y T X θ + Y T Y J(\\theta)=\\theta^\{T\} X^\{T\} X \\theta-\\theta^\{T\} X^\{T\}Y-Y^\{T\} X\\theta+Y^\{T\} Y J(θ)=θTXTXθ−θTXTY−YTXθ\+YTY求导令其等于0： ∂ ∂ θ J ( θ ) = 2 X T X θ − 2 X T Y = 0 \\frac\{\\partial\}\{\\partial \\theta\} J(\\theta)=2X^\{T\} X \\theta-2X^TY=0 ∂θ∂J(θ)=2XTXθ−2XTY=0解得  θ = ( X T X ) − 1 X T Y \\theta=\\left(X^\{T\}X\\right)^\{-1\} X^\{T\}Y θ=(XTX)−1XTY，经过推导我们得到了 θ \\theta θ的解析解，现在只要给了数据，我们就可以带入解析解中直接算出 θ \\theta θ。

### 几何意义 ###

几何意义会直观的帮助你理解最小二乘法究竟在干什么。首先先来解释一下矩阵乘法的几何意义，对于一个方程组 A x Ax Ax，我们可以看做是 x x x对矩阵 A A A的列向量的线性组合，比如：

\{ 1 × x 1 + x 2 = 3 − 1 × x 1 + x 2 = 1 ⇔ \[ 1 1 − 1 1 \] \[ x 1 x 2 \] = \[ 3 1 \] ⇔ A × x = b \\left\\\{\\begin\{array\}\{l\} 1 \\times x\_\{1\}+x\_\{2\}=3 \\\\ -1 \\times x\_\{1\}+x\_\{2\}=1 \\end\{array\} \\Leftrightarrow\\left\[\\begin\{array\}\{ll\} 1 & 1 \\\\ -1 & 1 \\end\{array\}\\right\]\\left\[\\begin\{array\}\{l\} x\_\{1\} \\\\ x\_\{2\} \\end\{array\}\\right\]=\\left\[\\begin\{array\}\{l\} 3 \\\\ 1 \\end\{array\}\\right\] \\Leftrightarrow A \\times x=b\\right. \{ 1×x1\+x2=3−1×x1\+x2=1⇔\[1−111\]\[x1x2\]=\[31\]⇔A×x=b  
可以看作：  
 \[ 1 − 1 \] × x 1 + \[ 1 1 \] × x 2 = \[ 3 1 \] ⇔ a 1 × x 1 + a 2 × x 2 = b \\left\[\\begin\{array\}\{c\} 1 \\\\ -1 \\end\{array\}\\right\] \\times x\_\{1\}+\\left\[\\begin\{array\}\{c\} 1 \\\\ 1 \\end\{array\}\\right\] \\times x\_\{2\}=\\left\[\\begin\{array\}\{l\} 3 \\\\ 1 \\end\{array\}\\right\] \\Leftrightarrow a\_\{1\} \\times x\_\{1\}+a\_\{2\} \\times x\_\{2\}=b \[1−1\]×x1\+\[11\]×x2=\[31\]⇔a1×x1\+a2×x2=b  
画在坐标轴上可以看到，向量 b \\mathbf\{b\} b其实就是向量 a 1 \\mathbf\{a\_1\} a1与 a 2 \\mathbf\{a\_2\} a2的线性组合，因为他们都是在一个平面上，显然是有解的。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01vcmVBY3Rpb25f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
但是如文章开头所说，由于存在观测误差，我们往往会做多余观测，比如要拟合一次方程  y = k x + b y=k x+b y=kx\+b，我们可能观测了三个点（0,2）,（1,2）,（2,3），写成矩阵形式如下(为表述方便，用x1代替k，x2代替b )：  
 \{ 1 × x 1 + x 2 = 2 0 × x 1 + x 2 = 2 2 × x 1 + x 2 = 3 ⇔ \[ 1 1 0 1 2 1 \] \[ x 1 x 2 \] = \[ 2 2 3 \] ⇔ A × x = b \\left\\\{\\begin\{array\}\{l\} 1 \\times x\_\{1\}+x\_\{2\}=2 \\\\ 0 \\times x\_\{1\}+x\_\{2\}=2 \\\\ 2 \\times x\_\{1\}+x\_\{2\}=3 \\end\{array\} \\Leftrightarrow\\left\[\\begin\{array\}\{ll\} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\\\ 2 & 1 \\end\{array\}\\right\]\\left\[\\begin\{array\}\{l\} x\_\{1\} \\\\ x\_\{2\} \\end\{array\}\\right\]=\\left\[\\begin\{array\}\{l\} 2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end\{array\}\\right\] \\Leftrightarrow A \\times x=b\\right. ⎩⎨⎧1×x1\+x2=20×x1\+x2=22×x1\+x2=3⇔⎣⎡102111⎦⎤\[x1x2\]=⎣⎡223⎦⎤⇔A×x=b  
表示成线性组合的方式：  
 \[ 1 0 2 \] × x 1 + \[ 1 1 1 \] × x 2 = \[ 2 2 3 \] ⇔ a 1 × x 1 + a 2 × x 2 = b \\left\[\\begin\{array\}\{l\} 1 \\\\ 0 \\\\ 2 \\end\{array\}\\right\] \\times x\_\{1\}+\\left\[\\begin\{array\}\{l\} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end\{array\}\\right\] \\times x\_\{2\}=\\left\[\\begin\{array\}\{l\} 2 \\\\ 2 \\\\ 3 \\end\{array\}\\right\] \\Leftrightarrow a\_\{1\} \\times x\_\{1\}+a\_\{2\} \\times x\_\{2\}=b ⎣⎡102⎦⎤×x1\+⎣⎡111⎦⎤×x2=⎣⎡223⎦⎤⇔a1×x1\+a2×x2=b

画在图中如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01vcmVBY3Rpb25f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
从图中我们可以看到，无论  a 1 \\mathbf\{a\_1\} a1 和  a 2 \\mathbf\{a\_2\} a2 怎么线性组合都不可能得到  b \\mathbf\{b\} b，因为  a 1 \\mathbf\{a\_1\} a1 和  a 2 \\mathbf\{a\_2\} a2 的线性组合成的向量只能落在它们组成的子空间  S \\mathbf\{S\} S 中。

退而求其次，虽然我们不可能得到  b \\mathbf\{b\} b，但在 S \\mathbf\{S\} S上找一个和 b \\mathbf\{b\} b最接近的总可以吧。那么将 b \\mathbf\{b\} b投影 在平面 S \\mathbf\{S\} S上得到的向量 p \\mathbf\{p\} p就是和 b \\mathbf\{b\} b最接近的向量（把向量看作点，最接近的意思就是点到平面某点取得距离最短，自然就是投影所成的交点）。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L01vcmVBY3Rpb25f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

换句话说，方程组 A x = b Ax=b Ax=b虽然无解，也就是b不在A的列空间中，但是我们可以在 A A A的列空间中找到一个和 b b b最接近的向量 p p p， p p p就是 b b b在 A A A的列空间中的投影，通过求 A x = p Ax=p Ax=p的解，就是原方程的最小二乘解。

由几何意义可知垂线 e = b − p = b − A x e=b-p=b-Ax e=b−p=b−Ax正交于平面  S \\mathbf\{S\} S，也就是 a 1 T e = 0 , a 2 T e = 0 a\_\{1\}^\{T\} e=0, a\_\{2\}^\{T\} e=0 a1Te=0,a2Te=0，写成矩阵形式：  
 A T e = A T ( b − A x ) = A T b − A T A x = 0 \\begin\{array\}\{c\} A^\{T\} e=A^\{T\}(b-Ax)=A^\{T\} b-A^\{T\} Ax=0 \\end\{array\} ATe=AT(b−Ax)=ATb−ATAx=0解得  x = ( A T A ) − 1 A T b x=\\left(A^\{T\} A\\right)^\{-1\} A^\{T\} b x=(ATA)−1ATb，可以看到推导结果和矩阵法一样。从上面可以看到，最小二乘法的几何意义就是**求解  b b b 在 A A A的列向量空间中的投影**。

到这里最小二乘法的推导已经完成了，但是我们忽略了一个问题，就是假如 A T A A^TA ATA不可逆怎么办？这个问题我会另写一篇博客进行介绍。

以上就是全部内容。

另外推荐一篇关于PCA写得也很不错的文章：  
[通俗易懂的PCA原理及代码实现(超详细推导)][PCA]

Reference  
https://www.cnblogs.com/pinard/p/5976811.html  
https://zhuanlan.zhihu.com/p/38128785  
https://www.zhihu.com/question/304164814/answer/549972357

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[PCA]: https://blog.csdn.net/MoreAction_/article/details/107463336