常见的机器学习算法（十一）PCA

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2023-02-12 15:29 25阅读 0赞

(一) 直接调用sklearn的API：

from sklearn.decomposition import PCA              #PCA特征降维#
    train_reduced = PCA.fit_transform(train)
    test_reduced = PCA.transform(test)

完整代码：

from sklearn.datasets import load_digits
    from sklearn.decomposition import PCA
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    digits = load_digits()
    x = digits.data#特征
    y = digits.target#标签
    
    pca = PCA()
    pca.fit(x)
    
    plt.figure()
    plt.plot(pca.explained_variance_, 'k', linewidth=2)
    plt.xlabel('n_components', fontsize=16)
    plt.ylabel('explained_variance_', fontsize=16)
    plt.show()

pca.explained\_variance\_ 是协方差矩阵D的对角线元素，如下图所示：![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

（二）不调用API

1.应用背景

主成分分析（Principal Components Analysis），简称PCA，是一种数据降维技术，用于数据预处理。一般我们获取的原始数据维度都很高，比如1000个特征，在这1000个特征中可能包含了很多无用的信息或者噪声，真正有用的特征才100个，那么我们可以运用PCA算法将1000个特征降到100个特征。这样不仅可以去除无用的噪声，还能减少很大的计算量。  
在PCA中，数据从原来的坐标系转化到新的坐标系中。当然这里新的坐标系也不是随便设定的，而是应该根据数据本身的特征来设计。通常第一个新坐标轴选择的是原始数据方差最大的方向，第二个坐标轴是与第一个坐标轴正交且具有最大方差的方向。这句话的意思就是，第二个选取的方向应该和第一个方向具有很弱的相关性。

总结：

降维可以缓解维度灾难问题  
降维可以在压缩数据的同时让信息损失最小化  
理解几百个维度的数据结构很困难，两三个维度的数据通过可视化更容易理解

2.设计思路

PCA主成分分析算法，是一种线性降维，将高维坐标系映射到低维坐标系中。  
如何选择低维坐标系呢？就是求协方差的特征值和特征向量过协方差矩阵的特征值和特征向量，特征向量代表坐标系，特征值代表映射到新坐标的长度  
然后做数据转换。

3.步骤：

1.  去除平均值
2.  计算协方差矩阵
3.  计算协方差矩阵的特征值和特征向量
4.  特征值从大到小排序
5.  保留最上面k个特征向量
6.  将数据转换到k个向量构件的新空间中
7.  n维矩阵\*k维特征向量=k维矩阵

4.完整代码

import numpy as np
    import pandas as pd
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    #计算均值,要求输入数据为numpy的矩阵格式，行表示样本数，列表示特征
    def meanX(dataX):
        return np.mean(dataX,axis=0)#axis=0表示按照列来求均值，如果输入list,则axis=1
    
    """
    参数：
        - XMat：传入的是一个numpy的矩阵格式，行表示样本数，列表示特征    
        - k：表示取前k个特征值对应的特征向量
    返回值：
        - finalData：参数一指的是返回的低维矩阵，对应于输入参数二
        - reconData：参数二对应的是移动坐标轴后的矩阵
    """
    def pca(XMat, k):
        average = meanX(XMat)
        m, n = np.shape(XMat)
        avgs = np.tile(average, (m, 1))
        data_adjust = XMat - avgs
        covX = np.cov(data_adjust.T)   #计算协方差矩阵
        featValue, featVec=  np.linalg.eig(covX)  #求解协方差矩阵的特征值和特征向量
        index = np.argsort(-featValue) #按照featValue进行从大到小排序
        if k > n:
            print ("k must lower than feature number")
            return
        else:
            #注意特征向量时列向量，而numpy的二维矩阵(数组)a[m][n]中，a[1]表示第1行值
            selectVec = np.matrix(featVec.T[index[:k]]) #所以这里需要进行转置
            finalData = data_adjust * selectVec.T
            reconData = (finalData * selectVec) + average
        return finalData, reconData
    #输入文件的每行数据都以\t隔开
    def loaddata(datafile):
        return np.array(pd.read_csv(datafile,sep="\t",header=None)).astype(np.float)
    #因为我将维数k指定为2，所以可以使用下面的函数将其绘制出来
    def plotBestFit(data1, data2):
        dataArr1 = np.array(data1)
        dataArr2 = np.array(data2)
    
        m = np.shape(dataArr1)[0]
        axis_x1 = []
        axis_y1 = []
        axis_x2 = []
        axis_y2 = []
        for i in range(m):
            axis_x1.append(dataArr1[i,0])
            axis_y1.append(dataArr1[i,1])
            axis_x2.append(dataArr2[i,0])
            axis_y2.append(dataArr2[i,1])
        fig = plt.figure()
        ax = fig.add_subplot(111)
        ax.scatter(axis_x1, axis_y1, s=50, c='red', marker='s')
        ax.scatter(axis_x2, axis_y2, s=50, c='blue')
        plt.xlabel('x1');
        plt.ylabel('x2');
        plt.savefig("outfile.png")
        plt.show()
    
    def main():
        datafile = "data.txt"
        XMat = loaddata(datafile)
        k = 2
        return pca(XMat, k)
    
    
    if __name__ == "__main__":
        finalData, reconMat = main()
        plotBestFit(finalData, reconMat)#蓝色部分为重构后的原始数据，红色则是提取后的二维特征

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

注：

数据：data.txt文件，注意：使用的是相对路径，把数据放到你的.py代码同一级目录下，并列关系

5.1	3.5	1.4	0.2
    4.9	3.0	1.4	0.2
    4.7	3.2	1.3	0.2
    4.6	3.1	1.5	0.2
    5.0	3.6	1.4	0.2
    5.4	3.9	1.7	0.4
    4.6	3.4	1.4	0.3
    5.0	3.4	1.5	0.2
    4.4	2.9	1.4	0.2
    4.9	3.1	1.5	0.1
    5.4	3.7	1.5	0.2
    4.8	3.4	1.6	0.2
    4.8	3.0	1.4	0.1
    4.3	3.0	1.1	0.1
    5.8	4.0	1.2	0.2
    5.7	4.4	1.5	0.4
    5.4	3.9	1.3	0.4
    5.1	3.5	1.4	0.3
    5.7	3.8	1.7	0.3
    5.1	3.8	1.5	0.3
    5.4	3.4	1.7	0.2
    5.1	3.7	1.5	0.4
    4.6	3.6	1.0	0.2
    5.1	3.3	1.7	0.5
    4.8	3.4	1.9	0.2
    5.0	3.0	1.6	0.2
    5.0	3.4	1.6	0.4
    5.2	3.5	1.5	0.2
    5.2	3.4	1.4	0.2
    4.7	3.2	1.6	0.2
    4.8	3.1	1.6	0.2
    5.4	3.4	1.5	0.4
    5.2	4.1	1.5	0.1
    5.5	4.2	1.4	0.2
    4.9	3.1	1.5	0.1
    5.0	3.2	1.2	0.2
    5.5	3.5	1.3	0.2
    4.9	3.1	1.5	0.1
    4.4	3.0	1.3	0.2
    5.1	3.4	1.5	0.2
    5.0	3.5	1.3	0.3
    4.5	2.3	1.3	0.3
    4.4	3.2	1.3	0.2
    5.0	3.5	1.6	0.6
    5.1	3.8	1.9	0.4
    4.8	3.0	1.4	0.3
    5.1	3.8	1.6	0.2
    4.6	3.2	1.4	0.2
    5.3	3.7	1.5	0.2
    5.0	3.3	1.4	0.2
    7.0	3.2	4.7	1.4
    6.4	3.2	4.5	1.5
    6.9	3.1	4.9	1.5
    5.5	2.3	4.0	1.3
    6.5	2.8	4.6	1.5
    5.7	2.8	4.5	1.3
    6.3	3.3	4.7	1.6
    4.9	2.4	3.3	1.0
    6.6	2.9	4.6	1.3
    5.2	2.7	3.9	1.4
    5.0	2.0	3.5	1.0
    5.9	3.0	4.2	1.5
    6.0	2.2	4.0	1.0
    6.1	2.9	4.7	1.4
    5.6	2.9	3.6	1.3
    6.7	3.1	4.4	1.4
    5.6	3.0	4.5	1.5
    5.8	2.7	4.1	1.0
    6.2	2.2	4.5	1.5
    5.6	2.5	3.9	1.1
    5.9	3.2	4.8	1.8
    6.1	2.8	4.0	1.3
    6.3	2.5	4.9	1.5
    6.1	2.8	4.7	1.2
    6.4	2.9	4.3	1.3
    6.6	3.0	4.4	1.4
    6.8	2.8	4.8	1.4
    6.7	3.0	5.0	1.7
    6.0	2.9	4.5	1.5
    5.7	2.6	3.5	1.0
    5.5	2.4	3.8	1.1
    5.5	2.4	3.7	1.0
    5.8	2.7	3.9	1.2
    6.0	2.7	5.1	1.6
    5.4	3.0	4.5	1.5
    6.0	3.4	4.5	1.6
    6.7	3.1	4.7	1.5
    6.3	2.3	4.4	1.3
    5.6	3.0	4.1	1.3
    5.5	2.5	4.0	1.3
    5.5	2.6	4.4	1.2
    6.1	3.0	4.6	1.4
    5.8	2.6	4.0	1.2
    5.0	2.3	3.3	1.0
    5.6	2.7	4.2	1.3
    5.7	3.0	4.2	1.2
    5.7	2.9	4.2	1.3
    6.2	2.9	4.3	1.3
    5.1	2.5	3.0	1.1
    5.7	2.8	4.1	1.3
    6.3	3.3	6.0	2.5
    5.8	2.7	5.1	1.9
    7.1	3.0	5.9	2.1
    6.3	2.9	5.6	1.8
    6.5	3.0	5.8	2.2
    7.6	3.0	6.6	2.1
    4.9	2.5	4.5	1.7
    7.3	2.9	6.3	1.8
    6.7	2.5	5.8	1.8
    7.2	3.6	6.1	2.5
    6.5	3.2	5.1	2.0
    6.4	2.7	5.3	1.9
    6.8	3.0	5.5	2.1
    5.7	2.5	5.0	2.0
    5.8	2.8	5.1	2.4
    6.4	3.2	5.3	2.3
    6.5	3.0	5.5	1.8
    7.7	3.8	6.7	2.2
    7.7	2.6	6.9	2.3
    6.0	2.2	5.0	1.5
    6.9	3.2	5.7	2.3
    5.6	2.8	4.9	2.0
    7.7	2.8	6.7	2.0
    6.3	2.7	4.9	1.8
    6.7	3.3	5.7	2.1
    7.2	3.2	6.0	1.8
    6.2	2.8	4.8	1.8
    6.1	3.0	4.9	1.8
    6.4	2.8	5.6	2.1
    7.2	3.0	5.8	1.6
    7.4	2.8	6.1	1.9
    7.9	3.8	6.4	2.0
    6.4	2.8	5.6	2.2
    6.3	2.8	5.1	1.5
    6.1	2.6	5.6	1.4
    7.7	3.0	6.1	2.3
    6.3	3.4	5.6	2.4
    6.4	3.1	5.5	1.8
    6.0	3.0	4.8	1.8
    6.9	3.1	5.4	2.1
    6.7	3.1	5.6	2.4
    6.9	3.1	5.1	2.3
    5.8	2.7	5.1	1.9
    6.8	3.2	5.9	2.3
    6.7	3.3	5.7	2.5
    6.7	3.0	5.2	2.3
    6.3	2.5	5.0	1.9
    6.5	3.0	5.2	2.0
    6.2	3.4	5.4	2.3
    5.9	3.0	5.1	1.8

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200526172352908.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5OTM4NjY2,size_16,color_FFFFFF,t_70
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