如何证明次对角线均不为零的三对角矩阵的秩为n或者n-1

偏执的太偏执、 2023-02-11 11:30 4阅读 0赞

此处，我是用的归纳法来证明的。假设该结论成立。  
1.当n=1时，  
此时矩阵为一个实数，结论成立。

2.假设n=k-1时，结论成立，记此时的矩阵为 A k A\_k Ak，即 r ( A k ) = k − 1 r(A\_k)=k-1 r(Ak)=k−1或者 r ( A k ) = k − 2 r(A\_k)=k-2 r(Ak)=k−2。  
则当 n = k n=k n=k时，我们先给矩阵 A k A\_k Ak添加一行，结果为  
 \[ A k a 1 T \] \\left\[ \\begin\{matrix\} A\_k\\\\ a\_1^T \\end\{matrix\} \\right\] \[Aka1T\]  
其中， a 1 T = \[ 0 β \] a^T\_1=\[0 \\quad\\beta\] a1T=\[0β\]，0代表长度为 k − 2 k-2 k−2的零向量，此时我们可以看出该矩阵的秩为 k − 1 k-1 k−1，因为对于上述矩阵，不存在非零的 b 1 , b 2 , . . . , b k − 1 b\_1,b\_2,...,b\_\{k-1\} b1,b2,...,bk−1使得上述矩阵的列之间线性相关（毕竟存在着一个 β \\beta β）。  
记上述矩阵为 A A A。接着，我们再给上述矩阵添加一列，  
 \[ A a 2 \] \\left\[ \\begin\{matrix\} A & a\_2 \\end\{matrix\} \\right\] \[Aa2\]  
其中， a 1 = \[ 0 β α \] ′ a\_1=\[0 \\quad\\beta \\quad \\alpha\]' a1=\[0βα\]′，0代表长度为 k − 2 k-2 k−2的零向量。因为上面已经证明了 A A A是秩为 k − 1 k-1 k−1的矩阵，即 A A A的列向量组的秩为 k − 1 k-1 k−1，列向量组里向量的数量为 k k k，所以再添加一个长度为 k k k的向量，组成的新向量组的秩要么为 k k k，即新的向量组组成了长度为 k k k的向量空间的一组最大线性无关向量组，要么秩为 k − 1 k-1 k−1，即新的列向量能被其他的列向量线性表示。  
故当 n = k n=k n=k时，对角线均不为零的三对角矩阵的秩为 k − 1 k-1 k−1或者 k k k。

综上，得证。

以上是本人自己的证明思路，若有错误之处，望大家批评指正。^.^