CPU 是如何识数的？

Myth丶恋晨 2023-01-19 15:50 112阅读 0赞

先来看一个简单的问题：小孩子都知道数数：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，可为什么要这样数呢？为什么不是1,2,3,4,5,6,10呢？

一种比较流行的解释是因为人类有10个手指：

![4f2d1b101a6feef84e495b63966241ae.png][]

所以人类的数字系统就是10进制的，如果这个解释成立，那么变色龙的数字系统应该是4进制![46d7b9b1e5141b5585c565c8ef5da55a.png][]：

![66655a9498e3ba54a609108a300b524c.png][]

而计算机的手是单指，所以是2进制：

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哈哈，开个玩笑，其实计算机在最最最最底层就是一个个开关，因此计算机系统是2进制，关于CPU的构造你可以参考《[你管这破玩意叫 CPU？][CPU]》：

![4aec8370c5d56778f389f46f490ccae5.png][]

**数字 0 与正整数**

0这个数字其实有非常重要的意义，可能大家都没想过这个问题，没关系，我们来看两个不同的数字系统：阿拉伯数字和罗马数字：

![5816f2e98d04be124e578f4a3f5d787e.png][]

注意，罗马数字中没有 “0” 这个概念，你可能会想，这有什么大不了的吗？让我们来看一个例子，数字205，分别在两种系统的表示。

**罗马**：CCV

**阿拉伯**：205

0的出现可以让阿拉伯数字系统中205这样写：

![6ed6fd4098e830db717166798fcb64db.png][]

可以看到，在阿拉伯系统中**数值和数字所在的位置有直接关系，这就是进位制**，而在罗马数字系统则没有进位制，这使得罗马数字在表示大数值时非常困难。

计算机系统中的二进制同样是进位制，数字5用二进制表示就是101：

![20b025da3bb6b9885b3e156d691019ae.png][]

使用 k 个bit，那么可以表示 2^k 个整数，范围从 0 到 2^k - 1，假设 k 有 8 位，那么表示范围就是 0 到 255，当然这里说的是无符号正整数。

现在我们可以表示正整数了，但真正有用的计算不可避免会涉及到**负数**，也就是**带符号整数**，而这也是真正有趣的地方。

##### **有符号整数** #####

正整数的表示非常简单，给定 k 个bit，那么我们可以表示 2^k 个数，假设k为4，那么我们可以表示16个数字。

如果要考虑有符号整数呢？

你可能会想这还不简单，一半一半嘛！其中一半用来表示正数，另一半用来表示负数！

假设有4个比特位，如果用来表示无符号正数，就是0 ~ 15，而如果要表示有符号整数，那么其中一半给到+1 ~ +7，另一半给到-1 ~ -7，

一切看最左边的 bit 是 0，如果最左边的 bit 位是 0 则表示正数，否则表示负数。

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现在我们已经知道正负数是通过什么来决定的了，接下来的问题就是负数该怎么表示呢？也就是说对于比如-2，现在我们只知道其最左边的 bit 位是1，那么右边的这些 bit 到底该是多少呢？

关于这一问题就三种设计方法。

##### **方法1：正数加上负号即对应负数** #####

第一种设计方法很简单，既然**0**010表示+2，那么如果最左边的bit位替换成1就表示对应的负数，即**1**010表示-2，这种设计方法简单直接，这是**最符合人类的思维的设计(不一定最好)**。

如果这样设计的话，4个 bit 位能表示的所有数字就是：

![ccac04c2d4236ec92bb76e616e50ba54.png][]

你给这种非常符合人类思维的数字表示方法起了个名字，**原码**。

这种设计下会有一个奇怪的表示：0000表示0这没什么问题，1000会表示 -0，这会导致出现-0这样的数字，其实 0 和 -0 不应该有什么区别。

身为设计天才的你显然不满足于此，是不是还有其它设计方法？

##### **方法2：翻转** #####

你觉得第一种表示方法也就是原码太原始，可以说基本上没什么设计，你突发奇想，既然**0010**表示+2，那么将其全部翻转，即**1101**来表示-2好了，即：

![ced9ec17799d0d5415777379ade8bb88.png][]

你给这种表示方法也起了名字，**反码**。

在反码表示法下，也存在-0，0000表示0，全部翻转也就是1111来表示-0，可以看到这和原码表示方法差别没那么大。

##### **设计计算机很容易吗？** #####

到这里有的同学可能会想，计算机设计者其实怎么来表示有符号数其实都是可以的，原码可以，反码也可以，都能表示出来，设计计算机太容易了吧！

你猜的没错，就是这么容易！**如果你是计算机的创造者，怎么设计都可以**！最初的计算机设计者真的可以有很多表示数字的方法，**采用反码表示数字的计算机系统在历史上真的出现过！！！**但这些表示方法不约而同都有一个问题，那就是**两数相加**。

##### **不简单的两数相加** #####

我们以2 + ( -2 )为例。

在原码表示法下，2为0010，-2为1010，那么计算机该怎么做2 + ( -2 )加法呢？

![0a14ae7c4eb11a07ffda0aa81484d2bd.png][]

可是1100在原码表示法下是 -4，这与原码表示法本身是矛盾的。

再来看看反码，2为0010，-2为1101，两数相加：

![dce69d2378bb1a598b33aa849469a3da.png][]

1111在反码表示下为-0，**虽然-0不够优雅**，但好歹和反码表示法本身没有矛盾，这大概就是为什么早期会有计算机采用反码表示数字的原因。

在《[**你管这破玩意叫CPU？**][CPU]》一文中我们知道，计算机加法是通过加法器组合电路实现的，而这里的不管是原码还是反码，要想计算加法都不可避免的要在前面提到的加法器之上**额外添加组合电路来确保有符号数相加的正确性**，这无疑会增加电路设计的复杂度。

人是懒惰的也是聪明的，我们就没有一种2+-2就是0(0000)的数字表达方法吗？

##### **新的表示方法** #####

现在，对于最左边的bit位来说，0表示正数，1表示负数是没有什么异议的，这里的关键在于我们需要一种表示方法，可以让A+(-A) = 0，而且这里0的二进制也是0，如果是4个bit为的话就应该是0000。

假设A=2，那么我们重点研究下2+-2 = 0(0000)的表示方法。

对于2来说，很简单就是0010，对于-2来说，现在我们只能确定最左边的bit位是1，也就是说 ：

![a7632f2d78fabc7a4b6f45f628ad9fe1.png][]

**显然 -2 应该用1110来表示，这样2+-2就真的是0了**，由此推断：

![6221587d632f349c90ef0567f4d0203d.png][]

从图中可以看出这种表示方法下就没有-0了。

注意看-1和0，分别是1111和0000，当我们让-1(1111)加上1(0001)时，我们确实得到了0000，不过还有一个进位，实际上我们得到的是10000，但**我们可以放心的忽略掉该进位**。

**这种表示方法最美妙的地方在于《[你管这破玩意叫CPU][CPU]》一文中提到的加法器不用修改就可以直接计算有符号数字的加法**。

你可以自己试验几个数字相加就能发下这种表示方法的奇妙之处，

你给这种数字表达方法起了名字，**补码，**这现代计算机系统所采用的数字表示方法。

采用补码，如果是4个bit位，那么我们可以表示的范围是-8 ~ 7。

再来仔细看一下反码和补码：

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因为补码不需要表示 -0 这个奇葩，你会发现一个很有意思的规律，那就是**负数的反码加上1就是对应的补码**，这是计算机教科书在讲解补码时很重要的一个知识点，现在你应该知道这个知识点是怎么来的了吧！

##### **CPU真的识数吗？** #####

就像前面提到的，现代计算机采用补码的根本原因在于**这种表示方法可以简化电路设计**，尽管补码对人类来说不够直观。

到这里我们可以看到，在计算机科学中，**最符合人类思维的设计并不一定对计算机最优**，这也是最迷人的地方，人和机器毕竟不同嘛！

让我们再来看下采用补码时2+-2 的计算过程：

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和十进制加法一样，从右到左，如果产生进位，那么进位就要参与左边一列的计算。

注意，在这个过程中加法器关心这个数字是正数还是负数了吗？

答案是没有，**加法器或者更具体是CPU中的ALU根本就不关心是正数还是负数，它只知道我要进行加法计算**，除此之外不 CARE 任何其它信息，至于数字该采用反码还是补码这些是人类需要理解的，确切来说是编译器需要来理解的，程序员都无需关心，但**程序员需要知道数据类型的表示范围**。

现在你能明白补码以及 CPU 是如何识数的了吧。

##### **总结** #####

在本文我们详细讲解了CPU是如何识数这一主题，正如本文所言，**CPU其实本质的上是不识数的，也不需要识数**，这正是补码这一数字表示方法的优点。

希望本文能对大家理解计算机系统的数字表示有所帮助。

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