被疯转的机器学习资料，究竟有什么特别之处？

不念不忘少年蓝@ 2023-01-17 10:45 95阅读 0赞

### Python大本营连载栏目第七期更新！ ###

最近超火的专栏你们有get吗？

今天就是最后一天了，各位小伙伴都学的怎么样了，下期专栏想学到什么内容，欢迎留言分享哦！

**专栏作者介绍|**

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### **前言 |**当下机器学习、人工智能领域吸引了许多技术人才投身其中，数学知识繁杂的理论与思想方法是大家在学习过程中的难点，这篇专栏将机器学习涉及到的数学知识统一梳理出来，相信你可以有所收获。     ###

### 机器学习第七天分享：**几何分布与几何随机变量与****泊松分布及泊松随机变量** ###

小编已经给大家整理好前六天学习内容，有不清楚的小伙伴可戳下文拿小本本记下↓↓

[**第一天分享内容：从概率到条件概率**][Link 1]

[**第二天分享内容：****（机器学习概率统计****）****理论基石：条件概率、独立性与贝叶****斯**][Link 2]

[**第三天分享内容：事件的关系：深入理解独立性1**][1]

**[第四天分享内容：事件的关系：深入理解独立性2][2]**

[**第五天分享内容：离散型随机变量：分布与数字特征**][Link 3]

[**第六天分享内容：几何分布与几何随机变量与泊松分布及泊松随机变量**][Link 4]

###  ###

在上一节里，我们介绍了离散型随机变量（[**第六天分享内容：几何分布与几何随机变量与泊松分布及泊松随机变量**][Link 4]），实际上，取值于连续区域的随机变量的应用领域也是十分普遍的，比如汽车行驶的速度、设备连续正常运行的时间等等，这些在实际应用中都非常广泛，连续型随机变量能够刻画一些离散型随机变量无法描述的问题。

![9d52cd9b68e4b537e77e69561cdedbb2.png][]

***01***

### **概率密度函数** ###

### **1.概率密度函数** ###

在连续型随机变量的讨论范围中，随机变量由离散的变为了实轴上的连续值，那么与离散型随机变量的分布列以及PMFPMF函数相对应，我们就有了连续型随机变量相类似的新概念：概率密度函数PDFPDF，二者在概念上是完全相对应的。

我们回顾一下前面在讲离散型随机变量分布列时所使用的一张图：

![32f7a76b50252f47ae221835772cad23.png][]

通过将三个事件所对应的概率值进行相加，就能得到这个事件集合所对应的总的概率：

P(X\\in S)=\\sum\_\{x\\inS\}\{p\_X(x)\}=P\_X(1)+P\_X(2)+P\_X(3)P(X∈S)=∑x∈SpX(x)=PX(1)+PX(2)+PX(3)。

而连续型随机变量和离散型随机变量最明显的不同点是，连续型随机变量的个数是无限的、不可数的，不是像这样直接简单相加，而是在实轴的区间范围内，对概率密度函数进行积分运算。

![056aaf5f77235b6dc14c51fc625454a5.png][]

这里，我们要对概率密度函数的特殊性进行强调：

第一：实数轴上单个点的概率密度函数PDFPDF取值f\_X(x)fX(x)不是概率，而是概率律，因此他的取值是可以大于11的。

第二：连续型随机变量的概率，我们一般讨论的是在一个区域内取值的概率，而不是某个单点的概率值。实际上，在连续区间内讨论单个点是没有意义的。

### **3.连续型随机变量的期望与方差** ###

大家千万不要到了这个连续型的新场景下就慌了手脚，在离散型随机变量中，我们通过分布列，求得加权的均值，即获得了离散型随机变量的期望。

那么在连续型随机变量的场景下，我们死扣定义，期望E\[X\]E\[X\]的核心要义是大量独立重复试验中，随机变量XX取值的平均数，那么我们此时将分布列替换成概率密度函数PDFPDF，求和替换成求积分就可以了，即：

E\[X\]=\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}xf\_X(x)dxE\[X\]=∫−∞∞xfX(x)dx

方差也是一样，扣定义：方差是随机变量到期望的距离平方的期望：

V\[X\]=E\[(X-E\[X\])^2\]=\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}(x-E\[X\])^2f\_X(x)dxV\[X\]=E\[(X−E\[X\])2\]=∫−∞∞(x−E\[X\])2fX(x)dx

接下来和上一节一样，我们来看几个非常重要的连续型随机变量的实际举例：

![b407a06f357382a8bcc7af71493cd245.png][]

***02***

### **泊松分布及泊松随机变量** ###

### **2.连续型随机变量区间概率的计算** ###

连续型随机变量在一个区间内取值的概率，我们可以通过求积分来计算解决，例如上图中，随机变量在\[a,b\]\[a,b\]区间内的概率即为：P(a\\leq X \\leq b)=\\int\_\{a\}^\{b\}f\_X(x)dxP(a≤X≤b)=∫abfX(x)dx，也就是图中阴影区间内的面积。因此这也进一步印证了上面的第二条结论，也就是说我们关注的不是单个点而是一个取值区间的概率计算。

当x=ax=a时，有P(a\\leq X \\leq a)=\\int\_\{a\}^\{a\} f\_X(x)dx=0P(a≤X≤a)=∫aafX(x)dx=0，因此区间两端是否取等也无关紧要了：

P(a\\leq X\\leq b)=P(a< X\\leq b)=P(a\\leqX< b)=P(a< X< b)P(a≤X≤b)=P(a<X≤b)=P(a≤X<b)=P(a<X<b)

同样的，我们继续进行类比，连续型随机变量概率的非负性和归一性体现在：

非负性：对一切的xx都有f\_X(x)\\geq 0fX(x)≥0；

而归一化体现在P(-\\infty\\leq X\\leq \\infty)=\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\} f\_X(x)dx=1P(−∞≤X≤∞)=∫−∞∞fX(x)dx=1

### **3.连续型随机变量的期望与方差** ###

大家千万不要到了这个连续型的新场景下就慌了手脚，在离散型随机变量中，我们通过分布列，求得加权的均值，即获得了离散型随机变量的期望。

E\[X\]=\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}xf\_X(x)dxE\[X\]=∫−∞∞xfX(x)dx

方差也是一样，扣定义：方差是随机变量到期望的距离平方的期望：

V\[X\]=E\[(X-E\[X\])^2\]=\\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}(x-E\[X\])^2f\_X(x)dxV\[X\]=E\[(X−E\[X\])2\]=∫−∞∞(x−E\[X\])2fX(x)dx

接下来和上一节一样，我们来看几个非常重要的连续型随机变量的实际举例：

### **4.正态分布及正态随机变量** ###

正态分布是连续型随机变量概率分布中的一种，你几乎能在各行各业中看到他的身影，自然界中某地多年统计的年降雪量、人类社会中比如某地高三男生平均身高、教育领域中的某地区高考成绩、信号系统中的噪音信号等等，大量自然、社会现象均按正态形式分布。

正态分布中有两个参数，一个是随机变量的均值\\muμ，另一个是随机变量的标准差\\sigmaσ，他的概率密度函数PDFPDF为：f\_X(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-(x-\\mu)^2/(2\\sigma^2)\}fX(x)=2πσ1e−(x−μ)2/(2σ2)。

当我们指定不同的均值和标准差参数后，就能得到不同正态分布的概率密度曲线，正态分布的概率密度曲线形状都是类似的，他们都是关于均值\\muμ对称的钟形曲线，概率密度曲线在离开均值区域后，呈现出快速的下降形态。

这里，我们不得不专门提一句，当均值\\mu=0μ=0，标准差\\sigma=1σ=1时，我们称之为标准正态分布。

还是老规矩，眼见为实，下面我们来观察两组正态分布的概率密度函数取值，一组是均值为00，标准差为11的标准正态分布。另一组，我们取均值为11，标准差为22。

**代码片段：**

from scipy.stats import norm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import seaborn
    seaborn.set()
    fig, ax = plt.subplots(1, 1)
    norm_0 = norm(loc=0, scale=1)
    norm_1 = norm(loc=1, scale=2)
    
    x = np.linspace(-10, 10, 1000)
    ax.plot(x, norm_0.pdf(x), color='red', lw=5, alpha=0.6, label='loc=0, scale=1')
    ax.plot(x, norm_1.pdf(x), color='blue', lw=5, alpha=0.6, label='loc=1, scale=2')
    ax.legend(loc='best', frameon=False)
    
    plt.show()

#### **运行结果：** ####

![5c8d9badd1592047df381743525b5e08.png][]

这里，我多一句嘴，在构造正态分布时，均值用参数locloc来描述，方差用参数scalescale来描述。

同样的，我们还可以通过基于指定分布的重复采样，来观察和验证模拟试验的情况。

**代码片段：**

from scipy.stats import norm
    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    import seaborn
    seaborn.set()
    
    norm_rv = norm(loc=2, scale=2)
    norm_rvs = norm_rv.rvs(size=100000)
    x = np.linspace(-10, 10, 1000)
    plt.plot(x, norm_rv.pdf(x), 'r', lw=5, alpha=0.6, label="$\\mu$=2,$\\sigma=2$")
    plt.hist(norm_rvs, normed=True, bins=50, alpha=0.6, edgecolor='k')
    plt.legend()
    plt.show()

#### **运行结果：** ####

![1678de93331c7ea29d583ac5b4437d3c.png][]

本期内容学会了吗，抓紧分享小伙伴一起学习吧！

**七天分享的机器学习相关知识点到今天就结束啦，感兴趣的小伙伴可以扫描下方二维码查看更多专栏内容哦。**

**咱们下期分享再见！**

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[Link 2]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5MjEwMTE2OQ%3D%3D&chksm=fe266a91c951e38792d78a49bc41d8f582edd88f33dd57de5faaa419cb57d755d8d220040fe3&idx=2&mid=2247499983&scene=21&sn=eaa3c2c6c44e22dfca8edaf6b4252476#wechat_redirect
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[Link 4]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5MjEwMTE2OQ%3D%3D&chksm=fe266bd7c951e2c1e7af1fb5bbf45b14694489c07c61ec91c89076c2fb5ed9dd15afecb79cf6&idx=2&mid=2247500169&scene=21&sn=45cc13e948451ea04d441831985c35bd#wechat_redirect
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