matlab中冲激函数延迟,《MATLAB信号处理超级学习手册》——第2章时间信号与系统 2.1 离散序列...

冷不防 2023-01-16 06:46 179阅读 0赞

本节书摘来自异步社区《MATLAB信号处理超级学习手册》一书中的第2章，第2.1节，作者：MATLAB技术联盟 , 史洁玉著，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看

第2章 时间信号与系统

一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或\{x(n)\}。尽管独立变量n不一定表示“时间”(例如，n可以表示温度或距离)，但x(n)一般被认为是时间的函数。因为离散时间信号x(n)对于非整数值n是没有定义的。

离散时间信号的波形绘制在MATLAB中一般用stem函数。stem函数的基本用法和plot函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。如果需要实心，需使用参数“fill”、“filled”，或者参数“.”。

由于MATLAB中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。

2.1 离散序列

MATLAB信号处理超级学习手册

离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。离散序列通常用x(n)来表示，自变量必须是整数。

离散时间信号(Discrete-time Signal)是指在时间上取离散值，幅度取连续值的一类信号，可以用序列(Sequence)来表示。

序列是指按一定次序排列的数值x(n)的集合，表示为：

![3e951bbee0a3fa7f207397dd2f13b112.png][]

注意：其中n为整数，x(n)表示序列，对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。特别应当注意的是，x(n)仅当n为整数时才有定义，对于非整数，x(n)没有定义，不能错误地认为x(n)为零。

2.1.1 单位取样序列

单位取样序列(也称单位脉冲序列)δ(n)，定义为：

![df045803de5cc1543b35be0ec3a57cc6.png][]

单位取样序列δ(n)的特点是仅在时序列n=0时值为1，n取其他值时，序列值为0。它的地位与连续信号中的单位冲激函数δ(t)相当。不同的是n=0时δ(n)=1，而不是无穷大。

在MATLAB中，冲激序列可以用zeros函数实现，如要产生N点的单位取样序列，可以通过以下命令实现：

x=zeros(1,N);

x(1)=1;

【例2-1】编制程序产生单位取样序列δ(n)及δ(n-20)，并绘制出图形。运行程序如下：

clear all

n=50;

x=zeros(1,n);

x(1)=1;

xn=0:n-1;

subplot(121);

stem(xn,x);

grid on

axis(\[-1 51 0 1.1\]);

title('单位取样序列δ(n)')

ylabel('δ(n)');

xlabel('n');

k=20;

x(k)=1;

x(1)=0;

subplot(122);

stem(xn,x);

grid on

axis(\[-1 51 0 1.1\]);

title('单位取样序列δ(n-20)')

ylabel('δ(n-20)');

xlabel('n');

运行结果如图2-1所示。

![aa956a0be3a501fda56d3597228d9e52.png][]

2.1.2 单位阶跃序列

单位阶跃序列(Unit Step Sequence)u(n)，定义如下：

![4890459ca624ac7533623cab82845e2f.png][]

在MATLAB中，阶跃序列可以用ones函数实现，如要产生N点的单位阶跃序列，可以通过以下命令实现：

x=ones(1,N);

【例2-2】编制程序产生单位阶跃序列u(n)及u(n-20)，并绘制出图形。运行程序如下：

clear all

n=50;

x=ones(1,n);

xn=0:n-1;

subplot(211);

stem(xn,x);

grid on

axis(\[-1 51 0 1.1\]);

title('单位阶跃序列u(n)')

ylabel('u(n)');

xlabel('n');

x=\[zeros(1,20),1,ones(1,29)\];

subplot(212);

stem(xn,x);

grid on

axis(\[-1 51 0 1.1\]);

title('单位阶跃序列u(n-20)')

ylabel('u(n-20)');

xlabel('n');

运行结果如图2-2所示。

![caa9856664fd9cf5c7ce326134894f6d.png][]

2.1.3 矩形序列

矩形序列(Rectangular Sequence)定义为：

![080dcce148e79c89d5a57e34d922f530.png][]

式中的N称为矩形序列的长度。符号R N(n)的下标N表示矩形序列的长度，如R 4(n)表示长度N=4的矩形序列。

单位取样序列δ(n)，单位阶跃序列U(n)和矩形序列R N(n)之间的关系如下：

![523240738e56de57d4e44ed6571b3812.png][]

一般地，若序列y(n)与序列x(n)之间满足y(n)=x(n-k)的关系，则称y(n)为x(n)的移位(或延迟)序列。

2.1.4 正弦序列

正弦序列的定义如下：

![2b98b6dfb996dfb287e25f0899041298.png][]

式中ω称为正弦序列的数字域频率，单位为弧度，它表示序列变化的速率，或者表示相邻两个序列值之间相差的弧度数。

如果正弦序列是由连续信号采样得到的，那么：

![f09db637cd34004ebe9b4d84c82fe87b.png][]

因为在数值上序列值等于采样值，可以得到数字域频率与模拟角频率的关系为：

![06f4737874af8347fb3eab45cddff2e3.png][]

上式具有普遍意义，它表明由连续信号采样得到的序列，模拟角频率Ω与数字域频率ω成线性关系。再由采样频率f s与采样间隔T互为倒数，上式也可以写成下列形式：

![f1e44f661e436f220624bb09c50e639e.png][]

上式表示数字域频率ω可以看作模拟角频率Ω对采样频率f s的归一化频率。

【例2-3】试用MATLAB命令绘制正弦序列x(n) = sin (frac\{ \{npi \}\}\{6\}) 的波形图。运行程序如下：

clear all

n=0:39;

x=sin(pi/6\*n);

stem(n,x);

xlabel('n')

ylabel('h(n)')

title('正弦序列')

axis(\[0,40,-1.5,1.5\]);

grid on;

运行结果如图2-3所示。

![b684689ffd98c5f7cb08a3fbbce05df1.png][]

2.1.5 实指数序列

实指数序列定义如下：

![36d5039558b235ffa8282ff7fb3b912f.png][]

运行程序如下：

clear

n=0:10;

a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8;

x1=a1.^n;

x2=a2.^n;

x3=a3.^n;

x4=a4.^n;

subplot(221)

stem(n,x1,'fill');

grid on;

xlabel('n'); ylabel('h(n)');

title('x(n)=1.2^\{n\}')

subplot(222)

stem(n,x2,'fill');

grid on

xlabel('n'); ylabel('h(n)');

title('x(n)=(-1.2)^\{n\}')

subplot(223)

stem(n,x3,'fill');

grid on

xlabel('n') ; ylabel('h(n)');

title('x(n)=0.8^\{n\}')

subplot(224)

stem(n,x4,'fill');

grid on

xlabel('n'); ylabel('h(n)');

title('x(n)=(-0.8)^\{n\}')

运行程序如图2-4所示。

![021529c98294a04f64b46fed57f87368.png][]

2.1.6 复指数序列

复指数序列定义为：

x(n) = e^\{(a + jomega \_0 )n\}

(2-13)

当a=0时，得到虚指数序列x(n) = e^\{jomega \_0 n\} ，式中ω 0是正弦序列的数字域频率。由欧拉公式知，复指数序列可进一步表示为：

![01d6c469a0ba8d76d8065c9aa5539ace.png][]

与连续复指数信号一样，下面将复指数序列实部和虚部的波形分开讨论，得出如下结论：

(1)当a>0时，复指数序列x(n)的实部和虚部分别是按指数规律增长的正弦振荡序列；

(2)当a<0时，复指数序列x(n)的实部和虚部分别是按指数规律衰减的正弦振荡序列；

(3)当a=0时，复指数序列x(n)即为虚指数序列，其实部和虚部分别是等幅的正弦振荡序列。

【例2-5】用MATLAB命令画出复指数序列x(n) = 2e^\{( - frac\{1\}\{ \{10\}\} + jfrac\{pi \}\{6\})n\} 的实部、虚部、模及相角随时间变化的曲线，并观察其时域特性。

运行程序如下：

clear

n=0:30;

A=2;a=-1/10;b=pi/6;

x=A\*exp((a+i\*b)\*n);

subplot(2,2,1)

stem(n,real(x),'fill');

grid on

title('实部');

axis(\[0,30,-2,2\]),xlabel('n')

subplot(2,2,2)

stem(n,imag(x),'fill');

grid on

title('虚部');

axis(\[0,30,-2,2\]) ,xlabel('n')

subplot(2,2,3)

stem(n,abs(x),'fill'),grid on

title('模'),axis(\[0,30,0,2\]) ,xlabel('n')

subplot(2,2,4)

stem(n,angle(x),'fill');

grid on

title('相角');

axis(\[0,30,-4,4\]) ,xlabel('n')

运行结果如图2-5所示。

![fad184596cd7cd6e17c70193512f1692.png][]

2.1.7 周期序列

如果对所有的n，关系式x(n)=x(n+N)均成立，且N为满足关系式的最小正整数，则定义x(n)为周期序列，其周期为N。

例如，对于正弦序列，设x(n) = Asin (omega \_0 n + varphi ) ，那么x(n + N) = Asin \[omega \_0 (n + N) + varphi \] = Asin (omega \_0 n + varphi + omega \_0 N)

如果x(n)=x(n+N)，则要求omega \_0 N = 2pi k 或N = (2pi /omega \_0 )k 。式中N和k均取整数，而且k的取值要保证N是最小的正整数。

对于具体的正弦序列周期(包括余弦序列及复指数序列)有以下3种情况：

(1)当2π/ω 0为整数时，k=1，该序列是以2π/ω 0为周期的周期序列。例如序列sin(πn/4)，ω 0=π/4，2π/ω 0=8，该正弦信号的周期为8。

(2)当2π/ω 0不是整数，是一个有理数时，设2π/ω 0=P/Q，式中P、Q是整数，并且P/Q为最简分数；取k=Q，则该序列的周期N=P。例如sin(5πn/8)，ω 0=5π/8，2π/ω 0=16/5，取k=5，该正弦信号的周期为16。

(3)当2π/ω 0是一个无理数时，任何整数都不能使N为正整数，则该序列不是周期序列。例如sin(2n/5)，ω 0=2/5，2π/ω 0=5π，该正弦信号不是周期序列。

【例2-6】已知xleft( n right) = 0.8^n R\_8 left( n right) ，利用MATLAB生成并图示x(n), x(n-m)，x((n))8 R N(n)，其中N=24，0

运行程序如下：

N=24;M=8;m=5;

%设移位值为5

n=0:N-1;

x1=0.8.^n;x2=\[(n>=0)&(n

xn=x1.\*x2;

%产生x(n)

\[xm,nm\]=sigshift(xn,n,m);

%产生x(n-m)

xc=xn(mod(n,8)+1);

%产生x(n)的周期延拓，求余后加1是因为MATLAB向量下标从开始

xcm=xn(mod(n-m,8)+1);

%产生x(n)移位后的周期延拓

subplot(2,2,1);stem(n,xn,'.');

axis(\[0,length(n),0,1\]);title('x(n)')

subplot(2,2,2);stem(nm,xm,'.');

axis(\[0,length(nm),0,1\]);title('x(n-5)')

subplot(2,2,3);stem(n,xc,'.');

axis(\[0,length(n),0,1\]);title('x(n)的周期延拓')

subplot(2,2,4);stem(n,xcm,'.');

axis(\[0,length(n),0,1\]);title('x(n)的循环移位')

运行结果如图2-6所示。

![d1c7ace314a597ebffffa06a551ac6fa.png][]

运行过程中用到的子程序为：

function\[y,n\]=sigshift(x,m,n0)

% y(n)=x(n-n0)

n=m+n0;y=x;

[3e951bbee0a3fa7f207397dd2f13b112.png]: /images/20221022/da481b4b275041479559df04935cd2f7.png
[df045803de5cc1543b35be0ec3a57cc6.png]: /images/20221022/58ff4dff3d9948869250a415483a81ca.png
[aa956a0be3a501fda56d3597228d9e52.png]: /images/20221022/c35bf35e67eb41cdb2efc114d6b20635.png
[4890459ca624ac7533623cab82845e2f.png]: /images/20221022/9d7dfa74150d4f32af4fb03546f4cb56.png
[caa9856664fd9cf5c7ce326134894f6d.png]: /images/20221022/56b6199479e84b809a8ab41d45ee1195.png
[080dcce148e79c89d5a57e34d922f530.png]: /images/20221022/d80ec6e2c6f5411bbe3958de94d0a6c1.png
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[2b98b6dfb996dfb287e25f0899041298.png]: /images/20221022/66c9c7e58e594f0cb595c24a20637303.png
[f09db637cd34004ebe9b4d84c82fe87b.png]: /images/20221022/675e57005a3b4a53a2d502a7a5ac15d6.png
[06f4737874af8347fb3eab45cddff2e3.png]: /images/20221022/bc13c900f8f549e4b06a25e7ed64770d.png
[f1e44f661e436f220624bb09c50e639e.png]: /images/20221022/50e8f1005967454694fd2ff8641323cd.png
[b684689ffd98c5f7cb08a3fbbce05df1.png]: /images/20221022/e362c31065484d3590bd4381f57114a8.png
[36d5039558b235ffa8282ff7fb3b912f.png]: /images/20221022/e09a3e6fdca0448d936ad9ac5e604475.png
[021529c98294a04f64b46fed57f87368.png]: /images/20221022/96a478b3885042a6b810fa466f6dd5cf.png
[01d6c469a0ba8d76d8065c9aa5539ace.png]: /images/20221022/d7aecb285bab4dd9bb396b91570e14e3.png
[fad184596cd7cd6e17c70193512f1692.png]: /images/20221022/49cbf24a530c4bbf8006639ec17f236e.png
[d1c7ace314a597ebffffa06a551ac6fa.png]: /images/20221022/b1494dde5d554a21be77c953534dfd7b.png