背包问题多种贪心_面试高频算法系列 | 第1话-01背包

喜欢ヅ旅行 2023-01-07 15:27 168阅读 0赞

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# **PART1 楔子** #

由于01背包的问题属于经典问题。很多文章会直接将经典的解题思路写出来。但是这样，往往会让人容易忘记。让人记住一件事的最好的方法，就是让他了解这件事的来龙去脉。本文将从最朴素的暴力枚举、递归等方法谈起，去一步步分析每一种方法的优化点。详细的代码地址，在文末会给出。希望可以帮助到大家。

# **PART2 问题描述** #

> 现在有一个背包(容器),它的体积(容量)为V,现在有N种物品(每个物品只有一个),每个物品的价值W\[i\]和占用空间C\[i\]都会由输入给出,现在问这个背包最多能携带总价值多少的物品?

首先我们对这个问题进行简单的分析。每件物品只有一个，就意味着，对于任意一件物品，要么选择，要么不选。

在文章开头讲到了，我们先用最朴素的暴力枚举方案分析下问题，找出方案的不足,再继续分析更优的解决方案。

# **PART3 朴素的暴力算法** #

我们自底向上分析，第1个物品选不选可以轻松地用初始化解决,接下来处理第i个物品时,假设只有2个物品就好,那他处理完后前2个物品能带来的最大总价值就确定了,这样一直推下去,就可以推出前n个物品处理完后能带来的最大总价值。

**递归算法**

分析：

运用递归的思想，假如现在是从最后一个开始选，如果这个东西的重量大于背包的重量，那可以从第n-1个物体开始选。

> **假如这个东西的重量小于背包的重量，那么现在你将面临两个选择：**

一、不选，那么你就跳过了这个物品，就可以从n-1开始选。

二、选，假如你选了的话，那么背包的重量就减少了，而且背包的价值提高了，那么就可以给定一个数去储存 这个价值并继续从下一个开始选。

最后比较n，n-1，......到 0 的价值大小。给定一个比较大小的函数即可输出最大价值。

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(PS:详细代码查看文末)

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(PS:详细代码查看文末)

**暴力枚举**

分析思路：

先根据物品的个数count生成所有的子集组合。01矩阵，也就是二维数组。然后对该矩阵进行遍历判断。判断每一步的容量是否超出背包容量，判断价值的最大值。关于生成子集组合的方式，还有通过格雷码的方式生成。这里暂时不做赘述。有兴趣的朋友可以自己去研究下。

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(PS:详细代码查看文末)

# **PART4 动态规划的原理及过程** #

**1、原理**

动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次。而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，将其不同阶段的不同状态保存在一个二维数组中，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间。

所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。

**2、分析过程**

**a) 把01背包问题抽象化**

(X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第 i 个物品选或不选)

Vi表示第 i 个物品的价值，Wi表示第 i 个物品的体积(重量)；

**b) 建立模型**

即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)

**c) 约束条件**

W1X1+W2X2+…+WnXn

**d) 定义V(i,j)**

当前背包容量 j，前 i 个物品最佳组合对应的价值；

**e) 最优性原理是动态规划的基础**

最优性原理是指【多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：

不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，

其后各阶段的决策序列必须构成最优策略】。

判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：

假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，

则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，

假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，

则理应有

(V2Y2+V3Y3+..+VnYn)+V1X1>(V2X2+V3X3+..+VnXn)+V1X

而 (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)

则有 (V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；

该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，

这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾。

故01背包问题满足最优性原理；

**f) 寻找递推关系式**

面对当前商品有两种可能性：

第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；

第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择**最优**的一个，即

V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝

其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；

由此可以得出递推关系式：

**1) j**

**2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝**

**g) 填表**

首先初始化边界条件，V(0,j)=V(i,0)=0；

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(备注: 物品个数：number = 4,背包容量：capacity = 8)

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(备注: 横轴为背包容量，纵轴为所选商品下标)

**h) 表格填完，最优解即：****V(number,capacity)=V(4,8)=10**

**3、二维数组动态规划**

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(PS:详细代码查看文末)

**4、背包使用滚动数组压缩空间**

所谓滚动数组，目的在于优化空间，从上面的解法我们可以看到，状态转移矩阵使用的是一个N\*V的数组，在求解的过程中，我们可以发现，当前状态只与前一状态的解有关，那么之前存储的状态信息已经无用了，可以舍弃的，我们只需要空间存储当前的状态和前一状态，所以只需使用2\*V的空间，循环滚动使用，就可以达到跟N\*V一样的效果。这是一个非常大的空间优化。

代码如下，我们可以在每轮内循环结束后输出当前状态的解，与上面使用二维数组输出的状态转移矩阵对比，会发现是一样的效果，重定向输出到文本有助加深理解。

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(PS:详细代码查看文末)

**5、背包的空间降维优化 - 一维数组**

> **1. 何为空间优化,为什么要空间优化？**

在01背包中通过对数组的优化(用了滚动数组的方法),可以使本来N\*V的空间复杂度降低到V,也就是把关于第几个物品的N去掉。

至于为什么要空间优化,首先是因为递推本来就是用空间换时间,消耗的空间比较大,然后关于算法的竞赛一般都会有空间的限制要求,最后,在找工作面试时,面试官肯定会问一些优化的问题,平时养成优化的习惯面试时也有好处。

> **2. 为什么这题可以降维？**

通过观察可以发现对于普通版的01背包递推式,f\[i\]\[...\]只和f\[i-1\]\[...\]有关,那么我们可以用一种占用,一种滚动的方法来**循环使用数组的空间，**所以这个方法叫滚动数组，对于将来肯定用不到的数据,直接滚动覆盖即可。

滚动数组的缺点是牺牲了抹除了大量数据,不是每道题都可以用,但是在这,答案刚好是递推的最后一步,所以直接输出即可,递推完后不需要调用那些已经没了的数据。

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(PS:详细代码查看文末)

# **PART5 背包恰好装满** #

初始化有两种,一种情况是只要求价值最大,另外一种是要求完全刚好塞满。第一种的初始化是赋值为0第二种的初始化是赋值为负无穷,因为没有塞满,所以数据实际上不存在,也就是让不存在的数不现实化,让与这种数相关的数据都不可用化。

# **PART6 背包输出最优方案** #

一般来讲，背包问题都是求一个最优值。但是如果要求输出得到这个最优值的方案，就可以根据状态转移方程往后推，由这一状态找到上一状态，依次向前推即可。

这样就可以有两种实现方式，一种是直接根据状态转移矩阵向前推，另一种就是使用额外一个**状态矩阵**记录最优方案的路径，道理都是一样的。

# **PART7 拓展延升** #

在上面的分析过程中，我们最后采用了动态规划的思想进行分析。那关于动态规划的知识了解多少呢？与动态规划类似的分析方式还有什么？它们有什么各自的特点？下面将一一谈下。(PS:由于动态规划算法是最为复杂却也是最为有效的方法,我们放在最后来谈)

**分治算法**

分治算法是最容易与动态规划混淆的算法。但是他们之前有一个很重要的区别。下面会提到。

*  算法思想：将原问题划分成若干个规模较小而结构与原问题相似的子问题，递归的解决这 些子问题，然后再合其结果，就得到原问题的解
 *  特征：
 *  该问题的规模缩小到一定的程度就很容易解决
 *  该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题**具有最优子结构性质**
 *  利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
 *  该问题所分解出的**各个子问题是相互独立的**，即**子问题之间不包含公共的子问题**
 *  与动态规划最大的区别就是 分治法里的子问题之间相互独立，不包含公共子问题。

**贪心算法**

*  算法思想：通过做一系列的选择来给出某一问题的最优解，对算法中的每一个决策点，做一个当时(看起来)是最优的选择。这种启发式的策略并不是总能产生出最优解。
 *  步骤：
 *  将优化问题转化成这样的一个问题，即先做出选择，在解决剩下的一个子问题
 *  证明原问题总是有一个最优解是做贪心选择得到的，从而说明贪心选择的安全性
 *  说明在作出贪心选择后，剩余的子问题具有这样一个性质。即如果将问题的最优解和我们所做的贪心选择联合起来，可以得出原问题的一个最优解。
 *  要素：**贪心选择性质**、**最优子结构性质**
 *  贪心选择性质：一个全局最优解可以通过局部最(贪心)选择来达到。

**动态规划**

*  算法思想：与分治法相似，也是通过组合子问题的解而解决整个问题。区别是，动态规划适用于分解得到的子问题往往不是相互独立的。在这种情况下如果采用分治法，有些子问题会被重复计算多次，动态规划通过记录已解决的子问题，可以避免重复计算。
 *  步骤：
 *  描述最优解的结构
 *  递归定义最优解的值
 *  按自底向上的方式计算最优解的值
 *  由计算出的结果构造一个最优解的值
 *  要素：**最优子结构、重叠子问题**

# **PART8 结语** #

从开始着手学习动态规划算法，到写完这篇文章。深深的体会到，以前在学校学习的数学归纳、数学推导、分析思想都是不可丢掉的。如果不重新捡起来这些，理解起来就难于上青天。最近本人也开始恶补关于数学方面的相关知识。

关于背包问题，弄清楚01背包的思想很重要。01背包的思想，对于接下来将要分析的完全背包、多充背包、混合背包等问题，同样适用。我们要做的事，学会推导状态转移方程与实现它，学会去优化空间复杂度，降维优化。

后续会继续更新关于背包问题的文章。敬请期待，欢迎斧正！

**文中代码地址： 评论区附**

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