元素和子集，属于与包含

谁践踏了优雅 2023-01-07 07:17 69阅读 0赞

**子集**  
一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。  
即，对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，则A⊆B。

可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。

**真子集**  
如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集（proper subset）。记作A⊊B（或B⊋A），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）。

即：对于集合A与B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，则A⊊B。空集是任何非空集合的真子集。  
(看来∀是任意元素意思，而∃是指存在)

非空真子集：如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。

**真子集与子集的区别：**  
子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；  
真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xlZnRmaXN0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
**属于**  
a是集合A中的元素，那么称a属于集合A。记作 a ∈ A

**不属于**  
a不是集合A中的元素，那么称a不属于集合A。记作 a 不属于在“∈”上画一斜线 A

**元素与集合的区别**  
元素属于集合，集合由元素构成。集合有花括符\{\}包起来，如a为元素，\{a\}为集合。子集是一个集合，而不是元素。

例如：  
A=\{a\},B=\{b,\{a\}\},C=\{d,b,\{a\}\},则A∈B,B⊆C,A∈C但A不是C的子集

这个例子中，A同样不是B的子集。为啥呢，当说A∈B，那么A只是一个元素，而不是一个集合，\{a\}被当成一个整体来看。只有A=\{a\},B=\{b,a\}，才有A⊆B。

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