协方差矩阵及其意义

不念不忘少年蓝@ 2023-01-06 14:59 173阅读 0赞

# 协方差矩阵 #

*  这里有一篇知乎回答的非常详细，网址如下：https://zhuanlan.zhihu.com/p/37609917
 *  其中关于协方差矩阵的内容我剪切到下面了，见下图  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]
 *  之所以除以n-1而不是除以n，是因为这样能使我们以较小的样本集更好的逼近总体的标准差，即统计上所谓的“无偏估计”。

# 协方差矩阵的意义 #

*  下部分引自另一篇博客https://blog.csdn.net/qq\_23100417/article/details/84935692
 *  协方差代表的意义是什么?  
    在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
    情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大 Y 也越大， X 越小 Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
    情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，这种情况，我们称为“负相关”。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
    情况三,如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X 越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。
 *  **怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？**  
    **在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；  
    在图中的区域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；  
    在图中的区域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；  
    在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。**
 *  当X 与Y 正相关时，它们的分布大部分在区域（1）和（3）中，小部分在区域（2）和（4）中，所以平均来说，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。  
    当 X与 Y负相关时，它们的分布大部分在区域（2）和（4）中，小部分在区域（1）和（3）中，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)<0 。  
    当 X与 Y不相关时，它们在区域（1）和（3）中的分布，与在区域（2）和（4）中的分布几乎一样多，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)=0 。
 *  所以，我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征，也就是协方差  
    cov(X, Y) = E\[(X-EX)(Y-EY)\]  
    **当 cov(X, Y)>0时，表明 X与Y 正相关；  
    当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；  
    当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。  
    且绝对值越大，相关性越大。**  
    这就是协方差的意义。
 *  上面是协方差的意义，协方差堆在一起就组成了协方差矩阵。

# 协方差的计算方法 #

*  此处待定吧，感觉协方差的计算交给计算机就好了，但此处也确实是协方差领域的一个知识点，暂时空余，日后有需要再补充。
 *  侵删。

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