数据结构中各种 “树“ 的讲解

桃扇骨 2023-01-05 03:58 202阅读 0赞

# 树 #

在计算器科学中，树（英语：tree）是一种抽象数据类型或是实现这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>0）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

### 树的特性 ###

①每个节点有零个或多个子节点；  
    ②没有父节点的节点称为根节点；  
    ③每一个非根节点有且只有一个父节点；  
    ④除了根节点外，每个子节点可以分为多个不相交的子树；

### 树的专业术语 ###

节点深度：对任意节点x，x节点的深度表示为根节点到x节点的路径长度。所以根节点深度为0，第二层节点深度为1，以此类推  
节点高度：对任意节点x，叶子节点到x节点的路径长度就是节点x的高度  
树的深度：一棵树中节点的最大深度就是树的深度，也称为高度  
父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点  
子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点  
节点的层次：从根节点开始，根节点为第一层，根的子节点为第二层，以此类推  
兄弟节点：拥有共同父节点的节点互称为兄弟节点  
度：节点的子树数目就是节点的度  
叶子节点：度为零的节点就是叶子节点  
祖先：对任意节点x，从根节点到节点x的所有节点都是x的祖先（节点x也是自己的祖先）  
后代：对任意节点x，从节点x到叶子节点的所有节点都是x的后代（节点x也是自己的后代）  
森林：m颗互不相交的树构成的集合就是森林

## 二叉树 ##

**概述**：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树

二叉树的衍生树

**满二叉树**：除最后一层无任何子节点外，每一层上的所有结点都有两个子结点。也可以这样理解，除叶子结点外的所有结点均有两个子结点。节点数达到最大值，所有叶子结点必须在同一层上  
**完全二叉树**：若设二叉树的深度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～(h-1)层) 的结点数都达到最大个数，第h层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。

**二叉查找树**：二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称为二叉搜索树、有序二叉树（ordered binary tree）或排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

*  若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；
 *  若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值；
 *  任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树；
 *  没有键值相等的节点。

**平衡二叉树（AVL树）**：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

为什么要有平衡二叉树：正常的情况下，二叉查找树的查找的时间复杂度为 **O（logn），**但是极端情况下二叉查找树退化成了链表，这时候查询的复杂度为O（n），为了解决这个问题，平衡二叉树出来了。

极端情况下的二叉查找树：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

二叉树示意图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

二叉树的遍历方式

先序遍历：先根节点->遍历左子树->遍历右子树

中序遍历：遍历左子树->根节点->遍历右子树

后序遍历：遍历左子树->遍历右子树->根节点

## **红黑树** ##

红黑树详细实现原理：[https://blog.csdn.net/kartorz/article/details/8865997][https_blog.csdn.net_kartorz_article_details_8865997]

**概述**：红黑树是每个节点都带有颜色属性的二叉查找树，颜色为红色或黑色。

红黑树的由来：算是平衡二叉树的优化，虽然平衡树解决了二叉查找树退化为近似链表的缺点，能够把查找时间控制在 O(logn)，不过却不是最佳的，因为平衡树要求**每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1**，这个**要求实在是太严了**，导致每次进行插入/删除节点的时候，几乎都会破坏平衡树的第二个规则，进而我们都需要通过**左旋**和**右旋**来进行调整，使之再次成为一颗符合要求的平衡树。

显然，如果在那种插入、删除很频繁的场景中，平衡树需要频繁着进行调整，这会使平衡树的性能大打折扣，为了解决这个问题，于是有了**红黑树。**

**特征**：

*  每个结点要么是红的要么是黑的。（红或黑）
 *  根结点是黑的。 （根黑）
 *  每个叶结点（叶结点即指树尾端NIL指针或NULL结点）都是黑的。 （叶黑）
 *  如果一个结点是红的，那么它的两个儿子都是黑的。 （红子黑）
 *  对于任意结点而言，其到叶结点树尾端NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑结点。（路径下黑相同）

红黑树的树状图

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

**红黑树应用比较广泛：**

**1.java 1.8 中的HashMap数据结构是 数组+（链表或红黑树），**当链表长度超过**8**时，就会由链表变成红黑树  
**2. 著名的`linux`进程调度`Completely Fair Scheduler`,用红黑树管理进程控制块。**  
**3.`epoll`在内核中的实现，用红黑树管理事件块**  
**4.`nginx`中，用红黑树管理`timer`等**

## **B-tree（B-树或者B树）** ##

**概述**：B树（英语：B-tree）是一种自平衡的树，能够保持数据有序。这种数据结构能够让查找数据、顺序访问、插入数据及删除的动作，都在对数时间内完成。B树，概括来说是一个一般化的二叉查找树（binary search tree），可以拥有最多2个子节点。与自平衡二叉查找树不同，B树适用于读写相对大的数据块的存储系统，例如磁盘。

B树特性：

*  根结点至少有两个子女。
 *  每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m
 *  每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m
 *  所有的叶子结点都位于同一层。
 *  每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]

如图所示就是一颗符合规范的B树，由于相比于磁盘IO的速度，内存中的耗时几乎可以省略，所以只要树的高度足够低，IO次数足够小，就可以提升查询性能。

B树的增加删除同样遵循自平衡的性质，有旋转和换位。

B树的应用是文件系统及部分非关系型数据库索引。

## B+树 ##

**概述**：B+ 树是一种树数据结构，通常用于关系型数据库（如Mysql）和操作系统的文件系统中。B+ 树的特点是能够保持数据稳定有序，其插入与修改拥有较稳定的对数时间复杂度。B+ 树元素自底向上插入，这与二叉树恰好相反。

在B树基础上，为叶子结点增加链表指针（B树+叶子有序链表），所有关键字都在叶子结点 中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中。

b+树的非叶子节点不保存数据，只保存子树的临界值（最大或者最小），所以同样大小的节点，b+树相对于b树能够有更多的分支，使得这棵树**更加矮胖**，查询时做的**IO操作次数**也更少。

![20210111174450807.png][]

*  查找时，首先在根节点进行二分查找，在根节点中找到key所在的指针，然后递归到key子节点进行查找，直到找到那个叶子节点，然后在这个叶子节点上进行二分查找，找出key锁对应的data.
 *  插入删除等操作会破坏其平衡性，这里的操作会很复杂，需要对树进行一个分裂、合并、旋转等操作来维护其平衡性。

###  B+Tree和B-Tree的区别 ###

**B-Tree**

*   每个节点都存储key和data，所有节点组成这棵树，并且叶子节点指针为null，叶子结点不包含任何关键字信息

**B+Tree**

*  所有的**叶子结点中包含了全部关键字的信息**，**非叶子节点只存储键值信息**，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大的顺序链接，所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大（或最小）关键字。 (而B树的非终节点也包含需要查找的有效信息)
 *   所有叶子节点之间都有一个链指针。
 *   数据记录都存放在叶子节点中。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTk0ODA3NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]

说白了就是为了减少io操作，内存操作基本忽略，而io操作才是真正耗时的。B+tree减低了树的高度。

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221119/889f5b42b9e343aa806461e625df295d.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111161719508.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4,size_16,color_FFFFFF,t_70
[https_blog.csdn.net_kartorz_article_details_8865997]: https://blog.csdn.net/kartorz/article/details/8865997
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111164653829.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111173504885.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMDM3NDc4,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20210111174450807.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111174450807.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTk0ODA3NQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190901093019761.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTk0ODA3NQ==,size_16,color_FFFFFF,t_70