数学之美-初中数学复习整理(一)-初识数学

电玩女神 2023-01-04 13:16 218阅读 0赞

## 有理数 ##

1.  同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
2.  绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并且用大的绝对值减去小的绝对值
3.  互为相反数的两个数相加等于0
4.  一个数同0相加，还是等于这个数

#### 数轴 ####

> 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)，它满足以下要求
> 
> 1.  在直线上任意取一个点表示0，这个点叫原点
> 2.  通常规定直线上下从原点向右/向上为正方向，原点向左/向下为负方向
> 3.  选取适当长度为单位长度，从原点向四个方向每增加一个单位长度

###### 相反数 ######

> 对于数轴上面的一个数的相反数，-2的相反数就是2，3的相反数就是-3

###### 绝对值 ######

> 两辆车同时从原点向左右两个方向分别行驶10km，虽然他们行驶的有的表示 为+10km。有的表示为-10km，但是他们距离原点的距离都是10km，说明他们都行驶了10km而不是往左倒退了10km，距离原点的10km记作绝对值10km  
>  ∣ − 10 ∣ = 10 |-10|=10 ∣−10∣=10

> 一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0

##### 有理数加法 #####

1.  (a+b)+c=a+(b+c)

##### 有理数减法 #####

1.  有理数减法可以转化为有理数加法来进行
2.  减去一个数，等于加这个数的相反数
3.  a-b=a+(-b)

##### 有理数乘法 #####

1.  两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
2.  任何数和0相乘都等于0
3.  乘积是1的两个数互为倒数
4.  两个数相乘，交换因数的位置，积相等ax(-b)=(-b)xa
5.  三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数 相乘，积相等 (ab)c=a(bc)
6.  一个数和两个数的和相乘a(b+c)=ab+ac

##### 有理数除法 #####

1.  除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数
2.  有理数除法可以变换为乘法来进行计算

##### 有理数乘方 #####

有理数各个乘数都相同时可以使用乘方运算

一个正方体的低每一边都是2cm，求正方体的体积

2 ( c m ) ∗ 2 ( c m ) ∗ 2 ( c m ) = 8 ( c m 3 ) 2(cm)\*2(cm)\*2(cm)=8(cm^3) 2(cm)∗2(cm)∗2(cm)=8(cm3)

为了简便外卖可以记作2的三次方： 2 3 2^3 23

一般n个相同的因数a相乘，记作a的n次方： a n a^n an

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a的n次方中，a叫做底数，n叫做指数，也可以读作a的n次幂

一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是5的一次方，通常指数1可以忽略不写

##### 有理数混合运算 #####

1.  先乘方，再乘除，最后加减
2.  同级运算，从左到右进行
3.  如果有括号，先做括号内地运算，按小括号，中括号，大括号依次进行

##### 科学计数法 #####

> 有时候生活中会遇到一些较大的数，例如太阳的半径，光的速度等读写挫折困难  
> 10的平方等于100，10的3次方等于1000，10的4次方等于10000  
> 有时候可以利用乘方来表示较大的数

567000000 = 5.67 ∗ 100000000 = 5.67 ∗ 1 0 8 567 000 000=5.67\*100 000 000=5.67\*10^8 567000000=5.67∗100000000=5.67∗108

###### 近似数 ######

> 有时候生活中会遇到一些很难取得准确数据的数，比如说宇宙的年龄，长江的长度

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## 平行线与相交线 ##

#### 相交线 ####

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]

> 两条线相交,例如X这样就是两条线相交，相交线上一共有4个角  
> ∠1，∠2两个相邻的角互相为邻补角，两个互为邻补角的角相加为180°  
> ∠4，∠2角对面的角叫对顶角，角=角的对顶角

###### 垂线 ######

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]> 两条线互相垂直，记作a⊥b，一条线是另一条线的垂直线，他们的交点叫做垂足

###### 同位角，内错角，同内旁角 ######

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

> 当一条直线与两条直线分别相交的时候，AB，CD与EF相交，也可以说是两条直线AB，CD都被第三条直线EF所截，构成八个角

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th></th> 
   <th></th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>同位角</td> 
   <td>∠1和∠5分别在直线AB，CD的同一方位，并且都在直线EF的同侧</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>内错角</td> 
   <td>∠3和∠5分别在直线EF的两侧，并且都在直线AB，CD之间</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>同内旁角</td> 
   <td>∠3和∠6在直线EF的同侧，并且在直线AB，CD之间</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

#### 平行线 ####

> 类似=等号这样两条线互相平行，被称为平行线  
> 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行  
> 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行  
> b//a，c//a，那么b//c

接下来使用相交线的定理来证明平行线  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

可以得出结论

> ∠1，∠2为同位角，同位角相等，两条直线平衡  
> ∠3，∠4为内错角，内错角相等，两条直线平衡  
> ∠3，∠5为同内旁角，同内旁角互补，两条直线平衡

Q:在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

A:  
∵ b⊥a  
∴ ∠1=90° ∠2=90°  
∴ ∠1=∠2  
∵ ∠1和∠2是同位角  
∴ b//c

Q:如图，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]Q1：如果∠B=∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？  
A1：∠B和∠DCG相等，是同位角，可以整明AB//CD

Q2：如果∠D=∠DCG，可以判断哪两条直线平行？为什么？  
A2：∠D和∠DCG相等，是内错角，可以证明AD//BCG

Q3：如果∠D+∠DFE=180°，可以判断哪两条直线平行？为什么？  
A3：∠D和∠DFE互补，是同内旁角，可以证明AD//AF//BCG

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## 实数 ##

> 实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。  
> 实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。  
> 所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。  
> 实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示

#### 平方根 ####

> 一般一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根，或者二次方根，也就是说 x ² = a x²=a x²=a，那么x叫做a的平方根  
> 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

> 假设现要求裁出一块25cm²的正方形画布，我们可以很快的算出边长为5cm，因为5的²=25  
> 对于这个问题，实际上是已知一个正数的平方

> 一般来说，如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么这个正数x记作a的算术平方根，a的算数平方根记作  a \\sqrt a a，读作根号a，a叫做被开方数  
> 0的算术平方根是0

Q1：100的算术平方根  
A1：因为10²=100，所以100的算术平方根是10，即 1 00 \\sqrt 100 100 =10

Q2： 49 64 \\frac \{49\} \{64\} 6449的算术平方根  
A2：因为( 7 8 \\frac \{7\} \{8\} 87）² =  49 64 \\frac \{49\} \{64\} 6449，所以 49 64 \\frac \{49\} \{64\} 6449的算术平方根是 7 8 \\frac \{7\} \{8\} 87，即 49 64 \\sqrt \\frac \{49\} \{64\} 6449= 7 8 \\frac \{7\} \{8\} 87

Q3：0.000 1  
A3：因为0.01²=0.000 1，所以0.0001的算术平方根是0.001，即 0 . 0001 \\sqrt 0.0001 0.0001=0.01

> 从例子来看，被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数来说都成立

如图所示  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]沿着小正方形的对角线剪开，然后所得的4个直角三角形拼在一起就能得到一个面积为2dm²的正方形，设大正方形的边长为x，则x²=2，由算术平方根的意义可知x= 2 \\sqrt 2 2  
∵ 1²=1，2²=4  
∴ 1<  2 \\sqrt 2 2 <2  
∵ 1.4²=1.988，1.4²=2.0164  
∴ 1.41<  2 \\sqrt 2 2 <1.42  
∵ 1.414²=1.999396，1.415²=2.002225  
∴ 1.414<  2 \\sqrt 2 2 <1.415  
…

> 如此继续下去可得到 2 \\sqrt 2 2的更精准的近似数，事实上 2 \\sqrt 2 2=1.41421356373…,它是一个无限不循环小数  
> 事实上很多正有理数的算术平方根，例如 3 \\sqrt 3 3，  5 \\sqrt 5 5，  7 \\sqrt 7 7 都是无限不循环小数  
> 大多数计算器都有根号按键，可以用它求出一个正有理数的算术平方根 或其近似值

Q：小明想用400cm²的正方形纸片裁出面积300cm²的长方形纸片，并且长宽比例为3:2,能裁出来吗?  
A：  
解:  
设长方形的长为3 x c m xcm xcm,宽为2 x c m xcm xcm  
根据边长和面积的关系得  
 3 x ∗ 2 x = 300 3x\*2x=300 3x∗2x=300

6 x ² = 300 6x²=300 6x²=300

x = 50 x=50 x=50

x = 5 0 x= \\sqrt 50 x=50  
因此长方形的长为3x 5 0 \\sqrt 50 50  
因为50>49.所以 5 0 \\sqrt 50 50>7  
即长方形的长应该大于21cm  
因为 4 00 \\sqrt 400 400=20，正方形的边长是20cm  
答: 不能裁出来，因为正方形的边长是20cm，而要求裁出的长方形的边长大于21cm

> 如果一个数的平方等于9，那么除了3以外，(-3)²也等于9，所以-3的平方也等于9

#### 立方根 ####

> 要制作一个体积为27m³的正方体，这种物体的棱应该是多少3³=27  
> 一般来说一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或者三次方根，如果说x³=a，那么x叫做a的立方根

> 求一个数立方根的运算，叫做开立方  
> 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数  
> 0的立方根是0

> 类似平方根，一个数a的立方根用符号 a 3 \\sqrt \[3\] a 3a表示，读作三次根号a，其中a是被开方数，3是根指数，其中根指数3不能省略，根指数为2的时候可以省略，没有根指数0

#### 实数 ####

> 很多平方根和立方根都是无限不循环小数，叫做无理数，有理数和无理数统称实数  
>  2 \\sqrt 2 2 是一个无限不循环小数，也是一个无理数

![在这里插入图片描述][20210110231913759.png]

###### 怎么在数轴上面找到无理数呢 ######

现在假设有一根数轴  
![在这里插入图片描述][20210111000059262.png]  
在数轴上面建立一个1x1的正方体  
![在这里插入图片描述][20210111000607146.png]  
这条黄色的斜边就是 2 \\sqrt 2 2

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

> 它的斜边为 2 \\sqrt 2 2的原理前面已经知道，圆和数轴相交的点就是 2 \\sqrt 2 2和 − 2 -\\sqrt 2 −2

> 有理数和无理数都可以在数轴上面表示，同时，有理数在数轴上面的一些定义也可以用于无理数  
> 正实数的绝对值等于它自己，负实数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值=0  
> 一个实数加上另一个实数等于0，那么他们互相为相反数  
> a-b的相反数=b-a

>  3 − 2 \\sqrt 3 -2 3−2的相反数= 2 − 3 2-\\sqrt 3 2−3  
> 绝对值计算:先把2转换成 4 \\sqrt4 4 ， 3 − 4 < 0 \\sqrt3 - \\sqrt 4 <0 3−4<0，所以应该取 4 − 3 \\sqrt4 - \\sqrt 3 4−3，也就是 2 − 3 2-\\sqrt 3 2−3

> 一个正实数的两个平方根相加等于0  
>  4 = 2 ∗ 2 = 2 ² \\sqrt \{4\}=2\*2=2² 4=2∗2=2²  
>  4 = − 2 ∗ − 2 = − 2 ² \\sqrt \{4\}=-2\*-2=-2² 4=−2∗−2=−2²  
> 2+(-2)=0

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## 平面直角坐标系 ##

> 我们一般会通过坐标来确认自己在教室的位置，如果我们约定好列数在前，行数在后，用数字来记录坐标，例如(第三列,第五行)，那么第三列第五行就是我们在教师的位置  
> 通过这样两个数各自表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数组成的数对叫做有序数对(ordered pair),记作(3,5)

#### 平面直角坐标系 ####

> > 平面直角坐标系由两条数轴x,y组成，两条数轴原点重合，并且两条数组互相垂直，我们通过(3,5)这个有序数对可以很快在坐标轴上面找到对应的位置![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]由这两条互相垂直，原点重合的数轴组成的平面直角坐标系，水平的数轴称为x轴或者横轴，竖直的数轴称为y轴或者纵轴，两条坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点，一个有序数对(3,5)就称为一个坐标

![!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20210111152328796.png?x-oss-process=image/watermark,type\_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow\_10,text\_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz,size\_16,color\_FFFFFF,t\_70][https_img-blog.csdnimg.cn_20210111152328796.png_x-oss-process_image_watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]

> 平面直角坐标系被两条数轴分成4个区域，每个区域称为一个象限，坐标轴上的点和原点不属于任何象限  
> 第二象限(-n,+m) 第一象限(+n,+m)  
> 第三象限(-n,-m) 第四象限(+n,-m)

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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221119/00a0fc1e5a1341629da7a8cff69d6a2f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221119/29040a3369e14677a7e2d23639dc1e9f.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210110165344294.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210110171050615.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz,size_16,color_FFFFFF,t_70
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[20210111000607146.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111000607146.png
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[https_img-blog.csdnimg.cn_20210111152328796.png_x-oss-process_image_watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20210111152352467.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1NDI1MjQz,size_16,color_FFFFFF,t_70