有关凸集的证明例题_「管理数学基础」3.1 凸分析：凸集与凸集分离定理、Farkas引理...

浅浅的花香味﹌ 2023-01-04 11:56 148阅读 0赞

![fe53207b1d49503486dcda4d6c074e8e.png][]

## **凸集与凸集分离定理、Farkas引理** ##

## **凸集** ##

### **定义：凸集** ###

![299d91e8c11848636c0fb1ba0948f91d.png][]

注意凸集的定义，`任取两点`满足某个条件为凸集：

*  证明`是凸集`的目标有了
 *  `凸集的性质`也有了，可以利用

### **凸集性质（逐个证明）** ###

**(1)**

![ce5b789d3a494283b3476d50bfdfbfb0.png][]

![1765eb4cd02567da9eb09d0a2273b39e.png][]

分析：

*  任取
    
    ![Image 1][]，因为是要证明
    
    ![Image 1][]是凸集
 *  也就是要对于所有的
    
    ![Image 1][]，都有
    
    ![Image 1][]
 *  能利用的性质只有
    
    ![Image 1][]是凸集
    
    `以及`
    
    ![Image 1][]与
    
    ![Image 1][]两个集合的关系（从微观上，一定存在
    
    ![Image 1][]中元素乘上实数
    
    ![Image 1][]在
    
    ![Image 1][]中），应该在二者间建立联系

**(2)**

![4810245e5e3be251d11c4baab0d8a851.png][]

![6b9778a420961d15e6210da20560ad79.png][]

分析：

*  与上一题思路相同

**(3)**

有限个凸集的交集为凸集。

![d95bef7f65751f249f417d9c7f5e245f.png][]

**由以上凸集性质，我们做下面两点例题。**

![2383c8e47eb9af5a59c1867a05333685.png][]

分析：

*  分别在集合间取元素，根据集合性质建立元素间关系
 *  然后带回去，这样从原理出发计算不会出错

## **超平面** ##

### **定义：超平面** ###

![3af5b34f46d39b9cb2665771316db0a0.png][]

分析：

*  ![Image 1][]在
    
    ![Image 1][]是直线，在
    
    ![Image 1][]是平面，在
    
    ![Image 1][]当然就是超平面了
 *  注意
    
    ![Image 1][]实际上超平面的法向量，与超平面垂直；
    
    ![Image 1][]决定了超平面的位置
 *  闭半空间一共有两个（一侧的点与法向量构成锐角，一侧是锐角）

### **证明：超平面是凸集** ###

![f4ffa5be754017b032c4f3b9700d1592.png][]

很简单，对于`闭半空间是凸集`同理，将

![Image 1][]换成

![Image 1][]或

![Image 1][]即可。

### **定义：支撑超平面** ###

![b9c538e3613828e0c3a089b7c09b8148.png][]

分析：

*  “支撑”即超平面对这个空间的生成起了作用，“触碰”到了这个空间

### **定义：多面体** ###

![c30cc47224b7dfbe7c64d17ef438a9c6.png][]

多面体：

*  是多胞形（上图的多胞形定义，我觉得不对）
 *  有界非空

### **定义：凸锥** ###

![b26196e5dfc1cdc784c488d055b6e92f.png][]

分析：

*  经过原点
    
    ![Image 1][]，因此超平面中
    
    ![Image 1][]
 *  ![Image 1][] 与
    
    ![Image 1][] 相加，实际上表示了两个超平面的中和，即相互趋近

## **凸集分离定理** ##

### **定义：分离** ###

![eca0275e24a6dda4ef98274971e6d4b2.png][]

分析：

*  两个非空集合，可以被几何的概念（超平面）分开，不重叠（但是可以重叠在超平面上）
 *  如果`没有`
    
    ![Image 1][]与
    
    ![Image 1][]即等号关系，则是
    
    `严格分离`

### **定义：凸集分离定理** ###

![b3aa7a7aafac186791898d81be566844.png][]

如上是凸集分离定理（如果两个集合是不相交的凸集，那么可以被一个超平面分开）。

证明过程很长，证明并应用了：Weierstrass定理、点集严格分离定理、支撑超平面定理。

## **Farkas引理** ##

### **定义：Farkas引理** ###

![27d075029a3d9e343455a5c13ea0eac6.png][]

用于后面的凸规划，这里注意一点：

*  (1)有解了，(2)必无解

### **证明：Farkas引理** ###

![61ad2c57c524a013acc6831eb6f1e88a.png][]

首先，假设(1)有解，证明(2)无解即可；接着证明(1)无解情况下，(2)必有解，大概思路是：

*  ![Image 1][]，由(1)无解可得
    
    ![Image 1][]，由此，利用点集分离定理，得到
    
    ![Image 1][]
 *  进一步，由
    
    ![Image 1][]，则有
    
    ![Image 1][]，现在(2)的第二个式子已经证明完毕了，接下来是第一个式子
    
    ![Image 1][]的证明

[fe53207b1d49503486dcda4d6c074e8e.png]: /images/20221119/8c468981b43446158f564ee427323903.png
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[Image 1]: 
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