mysql 怎么负数变整数_数学 | 负数该怎么开平方？写给少年的第一堂复数入门

桃扇骨 2023-01-03 01:47 154阅读 0赞

数是数学最基本的研究对象，但是从人类开始建立数的概念起，却经常发现数会不够用，真是脑壳疼。

一开始，人们只需要数人头数羊数鸡数兔数苹果，这时候有**自然数**就够用了。

![a25798e2aafcc34b8226e2a6c755fd13.png][] △ 我们一起来数羊吧

后来，人们发现两个自然数相减，结果不一定能用自然数表示，比如说 ，它的结果就不是一个自然数，而是一个**负整数**：。

![1ec1e32e5b0d287033ff6b2497deca02.png][] △ 可能很多人都不太喜欢负数

有了负整数，我们就把**整数**给凑齐了。但是人们发现，很多东西不能一个一个数，还有可能是半个，也就是说，两个整数相除，结果不一定能用整数表示，比如说 ，它的结果就不是一个整数，而是一个**分数**：。

![7bcc528f5f79b8f6e739fd22638508a1.png][] △ 一个大饼切3刀最多能切出几块？(跑题了)

分数的本质是两个整数的比，加上分数之后，我们就凑齐了**有理数**。但是人们又发现，还是有些东西无法用有理数来表示，比如说一个边长为 的正方形的对角线长度是 ，又或者圆周率 ，它们都不能表示成两个整数的比，所以它们是**无理数**。

![0e6069340ef53e772b3bc79deaa4d547.png][] △ 根号2等于几还能不能秒答？

加上无理数之后，我们就凑齐了**实数**。但是人们又发现，还是有些东西无法用实数来表示(你们烦不烦啊喂？)，比如说一个负数的平方根。

![bea693b51496a0f7425c377e386cb7c9.png][] △ Vita一年级时曾经思考过这个问题  
(注：-8两边应该加括号)

Vita 在一年级的时候曾经研究过这个问题，他知道负数的平方根是一个**虚数**(imaginary number)，我们讨论0是不是自然数这个问题的时候，他曾经说过一个想法：

> 和正数的平方根都是实数，而负数的平方根是虚数，所以 和正数应该算作一类。

我还觉得这个想法挺有意思的。

## **我们为什么需要虚数？** ##

正方形对角线、圆周率这些毕竟是现实当中存在的东西，我们为了表示这些东西引入一些新的数好像还说得过去，但是虚数就不一样了，给负数开根号这种事好像没办法想象出一个现实当中的意义。

但是数学毕竟是高于现实的，我们可以想象这样一个问题：**是否存在两个数它们和是 ，积是 ？**

乍一看似乎不存在这样一个数，因为即便把 分成 和 ，它们的积也只有 啊？但是别急，你算一下这个：

怎么样，结果是不是等于 ？再把它们相加，显然和是等于 。

在这两个数中，单独看 可能没意义，但它们的和与积却又是两个有意义的实数，这说明**负数的平方根必须是存在的**，不然总不能无中生有吧？

那么负数的平方根到底有什么意义呢？我们先看一个最简单的例子：。

## **重新理解一下乘法** ##

要回答这个问题，我们需要重新理解一下乘法。

小学二年级讲乘法，老师说乘法就是**几个几**，这个理解在正数范围内还好，负数出来之后就有点捉鸡了：**你说两个负数是相乘，是应该理解成几个几才好呢？**

关于这个问题，我以前也讲过如何用代数手法来解释，那我们现在再换种方法思考一下。

我们知道 ，，那我们是不是可以这样理解：如果从在数轴上从往画一根箭头，那么 这件事就意味着**把这根箭头绕原点旋转 180 度**。

为了便于理解，我试着用 manim 画了段小动画：

![c44b9784bc4f9d5822cf9ae7a6ba6e54.gif][] △ 乘以-1相当于绕原点逆时针旋转180度

这样一来，两个负数相乘等于正数的问题就很容易解释了呢。

好了，那现在我们来思考一下 的问题。

先想一下 的平方根 (注：在这里根号表示开平方或者平方根，不表示算术平方根，下同)，也就是要找到一个数，**这个数乘以它自己等于** ：

我们发现 ，，于是我们得到 的平方根是 和 。

现在再来看 的平方根，也就是要找到一个数，**这个数乘以它自己等于** ：

不过这次我们似乎找不到这样一个数。别急，还回到数轴上，既然乘法可以理解为绕着原点旋转，那我们是不是**先转一次 90 度，再转一次 90 度，就可以把 给转到 了呢？**

也就是说：

![de026359fb8a54ab4c4745bc41c06921.gif][] △ 乘以根号-1相当于绕原点逆时针旋转90度

我们可以把 这件事理解为**绕原点逆时针旋转 90 度**，妙啊！

既然如此，我们用 之后，箭头旋转了 90 度，这时箭头所指向的数就应该是 了，但问题是，**这个箭头指向的位置并不在数轴上面鸭！？**

现在，请打开你们的脑洞：**为什么数就一定要呆在一根直线上面呢？**

![cc1a19cd8c8ce5fee17686d25eb402eb.png][] △ 千反田：我很好奇！

## **隐藏的另一条数轴** ##

我们所看到的数轴的确是一条直线，每一个实数在这条直线上都能找到一个相对应的点，但是**这条直线外面，就真的什么都没有了吗？**

当然不是。

如果我们再画一条垂直的数轴出来，那么 就会出现在那条新的数轴上！

我们把水平的数轴叫做**实数轴**，把垂直的数轴叫做**虚数轴**，于是我们发现 就位于虚数轴上 个单位的位置。

既然实数中我们有个说法叫**单位** ，那么 就是**虚数的那个单位** ，为了方便，我们给它起个名字叫做 ，也叫**虚数单位**。

![0feee80e70596addd849f547565c85e1.gif][] △ 虚数就隐藏在另一个维度

现在让我们整理一下：

很简单吧！不过，就好像 的平方根有两个，那么 的平方根会不会也不止一个呢？

现在我们再思考一下，刚才我们让 **逆时针**旋转两次 90 度，得到了 ，那**顺时针**旋转两次 90 度，不是也可以得到 吗？

于是，顺时针旋转 90 度得到的那个数，好像也是 呢！

![ba683a65dbe9cade800d67950dfeeea2.gif][] △ 反着转也可以呢！

我们看一看顺时针旋转 90 度之后，箭头指向哪里呢？正好是虚数轴上 的位置。既然虚数的单位 是 ，那么**负的单位 就应该是 啦！**

![7dc9005ebe3c0f808e91bbf9430170e4.gif][] △ 我们找到了-1的另一个平方根

神奇呀，原来 也有另一个平方根呢！更有趣的是，你可以想象一下，把这个箭头从 顺时针旋转三次 90 度，结果也转到了 的位置，也就是说：

![88bdb6bc5f2ca2427fdd732ea54cefea.gif][] △ 我们一起转圈圈

那我们是不是也可以说， 也是 的一个平方根呢？当然可以，不仅如此， 也是，**所有 的奇数次幂都是 的平方根**——当然，它们都可以等价地看作 或者 。

## **说了半天，负数到底怎么开平方？** ##

我们讨论了 的值，那么对于任意一个负数，它的平方根又是什么呢？

拿 为例吧。还是和刚才一样，我们思考如何经过两次相同的操作，把一个原本指向 的箭头给弄成指向 。

我们可以先把这个箭头逆时针旋转 90 度，并且拉长到原来的 倍，然后再重复一次。其中旋转 90 度相当于 ，而拉长到原来的 倍相当于 ，看图：

![58dad4a94216e89cbb2d6389eebff5c2.gif][] △ 旋转，跳跃，闭着眼

看出来了吗？

哦对了，别忘了我们还可以反着转，于是 也是 的平方根。对于其他的数，请大家自行举一反三吧。

## **如果不在数轴上呢？** ##

刚才我们遇到的所有的数都在数轴上——在实数轴上，那就是一个**实数**，比如 和 ；在虚数轴上，那就是一个**虚数**，比如 和 。

现在让我们想象一下，如果要求 的平方根，也就是 ，这该咋搞呢？

其实也不难，还是刚才的套路。既然把箭头逆时针转 90 度会得到 ，那么**转 45 度不就是 了吗？**

![183f51fb2f67a9b8d1b15df3c7f1ac01.gif][] △ 转45度也可以鸭

当然，别忘了，反着转 135 度也可以：

![f58e6684d03f4b746650766b3410f142.gif][] △ 千万别忘了还能反着转哦

可是大概你也发现了，无论哪种转法，这个箭头所指向的数都不在数轴上，而是在这个平面上了！像这样的数，我们就称为**复数**(complex number)。

既然复数是一个平面上的点，那我们就可以用**坐标**来表示它们。先找到它在实数轴上对应的位置，然后找到它在虚数轴上对应的位置，再把它们加起来就搞定了。

![f7da9c090d35f1402047f68a7a1dac83.png][]

比如上面这张图里(注意：这个跟刚才 的图很像，但是不一样哦！)，这个点在实数轴上的位置是 ，在虚数轴上的位置也是 。回忆一下，实数的单位 就是 ，而虚数的单位 是 ，因此我们应该这样写：

很显然，数轴也是平面的一部分，所以**实数和虚数是两种特殊的复数**——

*  实数是“没有虚数部分的复数”
 *  虚数是“没有实数部分的复数”

## **扩展：复数真的够用了吗？** ##

最后一个问题：**复数真的够用了吗？**

前面我们讲过，减法在自然数里不够用，我们才需要负数；除法在整数里不够用，我们才需要分数；平方根在实数里不够用，我们才需要复数……

那么**会不会有什么运算，在复数里面又不够用了呢？**

首先，加减乘除我们就不讨论了，不然篇幅太长，又不是写教科书呢。

我们前面讨论了给虚数 再开平方，发现**它的值依然在复数的范围内**，就是把 逆时针旋转 45 度或者顺时针旋转 135 度的位置。用勾股定理计算一下，可以求出这个值是：

看起来很复杂哈，没关系，反正**它依然是一个复数**。由于乘法就是旋转和缩放，所以无论对任何复数开平方，我们只要从 往这个数的位置旋转一半的角度就好了，**结果一定可以在复数范围内表示**，开 次方也是一样的。

其实，我们可以把开方运算理解为指数为分数的乘方运算，比如 也可以理解为 ，我们发现**这些运算都可以通过箭头的旋转和缩放来解决。**

然而，总有人能想出一些幺蛾子，比如说  **应该等于几呢？**

要计算 ，我们需要借助神奇的欧拉公式：

计算过程不重要，结论是  **不仅依然可以在复数范围内表示，而且它居然还是实数！**

更神奇的是，我们发现里面有一个 ，它可以取任意整数(想象一下把那个箭头重复转好多次 360 度的情形)，因此  **的值不是一个实数，而是无穷多个实数**——但无论如何，**这依然没有超出复数的范围**。

事实上，所有六种基本运算都可以在复数范围内完成，而且满足实数中的所有运算律，因此从这个角度来看，**复数已经够用了**。

那复数还有没有扩展呢？当然有，比如**四元数**，但是以我粗浅的了解，它不再是用来解决数不够用这个问题了。

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