数据结构与算法--图论，最短路算法，拓扑排序算法

傷城~ 2023-01-03 01:22 205阅读 0赞

#### 图论若干定义 ####

*  图（graph）G=（V,E）由定点vertex的集合V， 和边edge的集合E组成。每一条边都是一个点对点（v，w），其中 v,w 属于V集合的子集
 *  如果点对点 是有序的，那么图就是有向图（directed）
 *  图中的一条路径Path是定点序列的集合 w1，w2，w3，…wn使得（w（i）， w（i+1）） 是边E的子集 其中（1<= i <= N）,这样一条路径的长度（length）是该路径上的边数，他等于N-1。从一个点的到他自身可以看成是一条路径，如果路径不包含边，那么路径的长度为0.
 *  如果图有一条从一个定点到自身的边（v，v），那么这条路径v，也叫作环（loop）
 *  连通图
    
     *  如果一个无向图中从一个顶点到每个其他顶点存在一条路径，则称改无向图是连通图
 *  强连通图
    
     *  一个有向的连通图是强连通图
 *  基础图
    
     *  如果一个有向图不是强连通图，但是他的有基础的图结构，即其边上去掉方向所成的图是连通的，那么改有向图称为弱连通图
 *  完全图
    
     *  若图中每一对顶点之间都存在一条边的，我们称这种图为完全图
 *  现实中案例
    
     *  航空系统，每个机场都是顶点，机场之间的航线是边，边可以有权重标识时间，距离费用等。
     *  交通流可以用一个图来模型化，每一条街道交叉口标识一个顶点，每一条街道都是一条边。边的值可以代表速度限制，或者容量（车道数量）等。我们可以找一条最短路径或者用改信息找出交通瓶颈最可能的位置。

#### 图的表示（基本数据结构） ####

*  我们先用一个案例有向图（无向图类似表示）如图中假设可以从1号顶点编号。图中不表示7个顶点和12条表。  
    ![在这里插入图片描述][20210106164704661.png]

###### 方法一二维数组 ######

*  最简单的数据结构使用一个二维数组标识，称为邻接矩阵（adjacent matrix） 标识法。对于每条边（u，v），设置A\[u\]\[v\] = true;否则 设置false。如果边有一个权重，那么我们设置A\[u\]\[v\] = X权重值。例如，我们寻找最廉价的航空线路，那么我们可以用 MXA 无穷大标识不存在航线。如果处于某种原因我们找到最昂贵的路线，那么可以用 -MAX表示不存在的边。
 *  以上二维数组的表示方式优点是非常简单，但是空间需求是O（V^2）， 如果图的边不是很多，那么这种标识的代价就会非常大，若图是稠密（dense）的：E = O(| V ^ 2|)，那么我们用二维数组的邻接矩阵的标识方法是合适的，因为数据结构中每一个位置的值都是有用的值。
 *  致命的缺点在于我们现实生活中的案例几乎都是稀疏的数据，例如街道路口，几乎所有街道多的话都只有四个方向东南西北，因此任意路口的标识为节点， 方向标识边，那么E = 4V，如果3000 个路口，3000 个顶点，12000 条边，那么需要12000\*12000 的数组，而且数组中大部分元素都是false，因为一个节点只连接附近四个节点，与其他节点的连通数据位false。浪资源

###### 方法二邻接表 ######

*  如果图不是稠密的，是稀疏的，则更好的解决方案就是邻接表（adjacency list）表示，对每一个顶点，我们使用一个表存放所有邻接的顶点。这个时候占用的空间是 O(E+ V)，他相对于图的大小而言是线性的，这种抽象表示方法我们用如下图表示，很想一个MAP数据接口的样子。如果边有权重，那么我们可以在图节点E中附加信息增加权重信息，存在邻接表中。  
    ![在这里插入图片描述][20210106171256727.png]
 *  邻接表是标识图的标准方法。无向图可以类似的标表示，每条边（u，v）出现在两个表中，因此空间的使用基本是双倍的。在图论算法中通常需要找出与某个给定顶点v邻接的所有的顶点。 而这可以通过简单的扫描相应邻接表来完成，用时与这些找到顶点的个数成正比
 *  如下代码定义邻接表节点：

/** * 图节点元素 * @author liaojiamin * @Date:Created in 16:28 2020/12/28 */
    public class Vertex implements Comparable<Vertex> { 
        //图节点出度节点 数组
        private List<Vertex> vertexList = new ArrayList<>();
        //图节点入度节点 数组
        private List<Vertex> insertVertexList = new ArrayList<>();
        private Integer dist;
        private boolean know;
        //目标节点到本节点的上一个节点的 节点信息
        private Vertex path;
    
        private Integer weight;
    
        public List<Vertex> getInsertVertexList() { 
            return insertVertexList;
        }
    
        public void setInsertVertexList(List<Vertex> insertVertexList) { 
            this.insertVertexList = insertVertexList;
        }
    
        public Integer getWeight() { 
            return weight;
        }
    
        public void setWeight(Integer weight) { 
            this.weight = weight;
        }
    
        public Vertex getPath() { 
            return path;
        }
    
        public void setPath(Vertex path) { 
            this.path = path;
        }
    
        public List<Vertex> getVertexList() { 
            return vertexList;
        }
    
        public void setVertexList(List<Vertex> vertexList) { 
            this.vertexList = vertexList;
        }
    
        public Integer getDist() { 
            return dist;
        }
    
        public void setDist(Integer dist) { 
            this.dist = dist;
        }
    
        public boolean isKnow() { 
            return know;
        }
    
        public void setKnow(boolean know) { 
            this.know = know;
        }
    
        @Override
        public int compareTo(Vertex o) { 
            return this.dist - o.dist;
        }
    }

#### 拓扑排序 ####

*  拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，是的如果存在一条从Vi 到Vj的路径，那么在排序中Vj就出现在Vi的后面，如下图中，有向边（v，w）表示在v必须先比w 先完成。如果图中含有圈，那么拓扑排序是不可能存在的，因为对圈上的任何两个顶点v，w，v先于w同时也需要满足w先于v。此处拓扑排序不必是惟一的；任何合理的排序都是合理的。如下图所示：  
    ![在这里插入图片描述][20210106180929631.png]
 *  图中v1,v2,v5,v4,v3,v6,v7和v1,v2,v5,v4,v7 两个都是拓扑排序

###### 拓扑排序算法分析 ######

*  一个简单的拓扑排序算法
    
     *  先找出任意一个没有入边的顶点
     *  显示出改顶点
     *  将他及其边一起从图中删除
     *  对图中其余部分同样用这种方法处理。
 *  实现方式如下：

/** * 图论 求拓扑排序算法 * @author liaojiamin * @Date:Created in 14:56 2021/1/6 */
    public class GraphTopLogicalSort { 
        //节点定义：Vertex
        //图节点相邻节点组
        // private List<Vertex> vertexList = new ArrayList<>(); 存储节点出度节点
        // private List<Vertex> insertVertexList = new ArrayList<>(); 存储节点入度节点
        // private Integer dist; 存储节点拓扑编号
    
        //假设图基本数据结构已经被读入邻接表中
        private static final List<Vertex> vertices = new ArrayList<>();
    
        /** * 寻找入度为0 的图节点 * */
        public Vertex findNewVertexOfIndegreeZero(){ 
            Vertex insetZeroVertex = null;
            for (Vertex vertex : vertices) { 
                if(vertex.getInsertVertexList().size() <= 0){ 
                    insetZeroVertex =  vertex;
                }
            }
            //节点入度，出度都为0 ，删除节点信息
            if(insetZeroVertex != null && insetZeroVertex.getVertexList().size() <= 0){ 
                vertices.remove(insetZeroVertex);
            }
            return insetZeroVertex;
        }
    
        /** * 拓扑排序算法 * */
        public void topSort(){ 
            for (int i = 0; i < vertices.size(); i++) { 
                Vertex v = findNewVertexOfIndegreeZero();
                if(v == null){ 
                    //每个节点都有入度，说明是有圈
                    return;
                }
                v.setDist(i);
                for (Vertex vertex : v.getVertexList()) { 
                    //更新V节点相邻节点中所有信息
                    vertex.getInsertVertexList().remove(v);
                }
            }
        }
    }

*  以上实现方式中，findNewVertexOfIndegreeZero方法是对顶点数组的一个遍历，所有每次对他的调用都会花费O(V)的世界，由于有V次这样的调用，所有算法时间复杂度为O(V^2)
 *  优化方式：邻接表标识图的方式注定他是稀疏的，因此我们每次去更新节点的入度的时候只有少部分节点需要更新，也久只有少部分节点的入度将变为0 ，此时我们通过扫描所有数据的方式来查找入度为 0 的代价太大
 *  我们可以用一个队列或者栈来存储入度为 0 的节点，对每个顶点计算入度后然后将入度为0 的节点天界到队列，当队列不为空，就删除顶点V并将对应邻接节点入度减去v，这样拓扑排序的顺序就是出队列的顺序。
 *  代码实现如下：

/** * 优化拓扑算法 * */
        public void topSort_v1(){ 
            List<Vertex> insertZeroVertex = new ArrayList<>();
            insertZeroVertex.add(findNewVertexOfIndegreeZero());
            int i = 0;
            while (insertZeroVertex.size() > 0){ 
                Vertex v = insertZeroVertex.remove(0);
                v.setDist(i++);
                for (Vertex vertex : v.getVertexList()) { 
                    //减少入度
                    vertex.getInsertVertexList().remove(v);
                    if(vertex.getInsertVertexList().size() <= 0){ 
                        //将入度为0 的节点加入队列
                        insertZeroVertex.add(vertex);
                    }
                }
            }
        }

#### 最短路径算法 ####

*  最短路径算法是在赋权图的情况下使用：与每条边（vi，vj）想联系的是穿越改边的代价（权重）Cij。一条路径v1v2v3v4…vn的值叫做赋权路径长度（weighted path length），而无权路径长（unweighted path length）只是路径上边的数量，即N-1。

###### 单源最短路径问题 ######

*  给定一个赋权图G= （V，E）和一个特定顶点s作为输入，找出s到G中每一个其他顶点的最短赋权路径。如下案例  
    ![在这里插入图片描述][20210106183025983.png]
 *  从v1到v6的最短赋权路径的值为6，他是从v1 到 v4 到v7 在到v6的路径。在这两个顶点之间的最短无权路径长度为2.一般说，当不指名我们讨论的是赋权路径还是无权路径时候，如果图是赋权的那就是赋权路径。还有上图中从v6 到v1 是无路径的。

###### 负圈值 ######

*  以上案例中，如果存在负数的权重那么会有问题如下图。从v5 到v4 的路径值为1，但是通过下面的循环v5,v4,v2,v5,v4存在一条更短的路径，他的值是-5.这条路径任然不是最短的，因为我们可以循环中不断的重复。因此这两个顶点之间最短路径问题是不确定的。类似v1， 到v6的最短路径也是不确定的。这种情况就叫做**负圈值**
 *  当图中存在负圈值，最短路径问题是不确定的，有负的边增加问题难度  
    ![在这里插入图片描述][20210106183620630.png]

###### 四种最短路径目标 ######

*  首先开了无权最短路径问题并指出如何以O(E+V)的时间复杂度求解
 *  无负边情况先求解赋权最短路径，使用合理数据结构实现运行时间在O(ElogV)
 *  有负边情况，提供解决方案，时间复杂度O(E\*V)
 *  以线性时间解决无圈图特殊情况的赋权问题

###### 无权最短路径 ######

*  如下图表示一个无权图G，使用某个顶点s作为输入参数我们要找出从s到所有其他顶点的最短路径。因为是无权所有我们只需要关注边，我们将他当成是权重为1 的赋权问题。

1.  算法分析

*  选择s为v3，次数立刻可以看出s到v3的最短路径是0 ，到自己接的是无距离的。标记如图  
    ![在这里插入图片描述][20210106185025422.png]
 *  接着寻址与s相邻的节点，即s出发距离为1 的节点。这些顶点可以通过查询与s节点的领接节点数组来找到。我们看到v1和v6与s相邻，如下图：  
    ![在这里插入图片描述][20210107101119836.png]
 *  同理继续寻址邻接到v1和v6的顶点，显然是v2，v4，他们到v3的最短路径是2：

![在这里插入图片描述][20210107101747919.png]

*  最后通过v2，v4的邻接节点找到v5，v7各有一条3的最短路径:

![在这里插入图片描述][20210107101715911.png]

*  以上搜索图的方法称为广度优先搜索（breadth-first search）。按层处理顶点：距离开始最近的那些顶点首先被求值，最远的顶点最后被求值。这很像树的层序遍历（level-order traversal）。
 *  算法分析
    
     *  对每个顶点跟踪三个信息，首先将从s开始到顶点的距离dist记录为0，因为s到自身的距离是0
     *  顶点s的path属性记录为null这个变量用来标记我们能够显示出的实际路径
     *  know变量标记为false，标识他是否被处理过，处理过后标记为true，保证不会重复处理而导致更长的路径，因为按广度优先原则，首先处理的路径一定是对短的路径。
     *  算法流程将dist = 0 上的顶点声明为know，接着，dist = 1 上的顶点声明为know，在dist = 2的know，依次类推，并且每一步骤将上一步骤节点存储在Path中
     *  我们通过追溯Path遍历，可以显示实际的路径：如下代码实现：

*  如上代码实现中双重for循环，时间复杂度O(v^2).一个明显的效率低下的地方在于，在for循环还未结束的时候，其实已经将所有节点都已经编辑为know，但是循环还在继续。直到所有节点都被遍历一次为止。
 *  优化方式，我们可以用类似对拓扑排序的做法来避免这种双重循环，最简单的方式我们将即将要处理的节点放入队列中，然后依次从队列中取出来处理：
    
     *  当处理s节点的时候，将s设置know，将s添加到有序队列
     *  将出队列第一个节点，此时是s节点，将s邻接节点的dist+1，并且将所有邻接节点如队列
     *  持续上面两个步骤，知道队列中的节点为空为止
     *  如下代码实现：

/** * 最短路径算法二 * @author liaojiamin * @Date:Created in 16:29 2020/12/28 */
    public class GraphShotLine { 
        //图节点数组
        private static final List<Vertex> vertexVraph = new ArrayList<>();
        private static final Integer MAX_DIST = Integer.MAX_VALUE;
    
        /** * 递归打印路径 * */
        public void printPath(Vertex v){ 
            if(v.getPath() != null){ 
                printPath(v.getPath());
            }
            System.out.println(v);
        }
    
        /** * 无权重图最短路径算法 解法二 * */
        public void unweighted_1(Vertex s){ 
            for (Vertex vertex : vertexVraph) { 
                vertex.setDist(MAX_DIST);
                vertex.setKnow(false);
            }
            s.setDist(0);
            LinkedList<Vertex> sunVertexList = new LinkedList<>();
            sunVertexList.addFirst(s);
            while (!sunVertexList.isEmpty()){ 
                Vertex sunVertex = sunVertexList.getFirst();
                sunVertexList.removeFirst();
                for (Vertex vertex : sunVertex.getVertexList()) { 
                    if(vertex.getDist() == MAX_DIST){ 
                        vertex.setDist(sunVertex.getDist() +1);
                        vertex.setPath(sunVertex);
                        sunVertexList.addLast(vertex);
                    }
                }
            }
        }
    }

*  使用拓扑排序的方式处理最短路径问题，只要使用的是邻接表运行时间就是O(E+V)

#### Dijkstra算法 ####

*  如果图是有权重图，那么问题会更复杂一点，但是算法还是可以通用。我们还是保留之前的图节点结构。
 *  解决单源最短路径问题一般嘴阀叫做Dijkstra算法（Dijkstra\`s algorithm）。这个有很多年历史的解决方法是**贪婪算法**（greedy algorithm）最好的案例。贪婪算法一般是分阶段求解一个问题，在每个节点他都把出现的当作是最好的方法。
 *  Dijkstra算法按阶段进行，和无权最短路径算法一样。每个阶段Dijkstra算法选择一个顶点v，他在所有unknow顶点中具有最小的dist，同时算法声明从s到v的最短路径是known的。阶段的其余部分由dith的更新工作组成。
    
     *  在无权的情况下，如果dist\_w = +Max（无穷大） 那么设置dist\_w = dist\_v + 1。因此如果顶点v能提供一条更短的路径，则我们本质上降低了dist\_w的值。
     *  如果我们对赋权的情况也用这个逻辑，那么当dist\_w的新值dist\_v+ C\_vw，是一个更小的值，那么我们就设置dist\_w = dist\_v + V\_vw
     *  总的来说使用通过w节点的路径上的顶点v是不是一个最优解取决于算法，原始的dist\_w 是不使用v的值的，以上所有算出的值是使用v值后的最短路径

###### 算法分析 ######

*  依然按照之前的案例，如下图中，设开始节点s是v1，第一个选择的顶点是v1，路径长度 0 ，标记v1为known，即v1是known的，那么其他的节点的dist值就需要调整，邻接到v1的节点v2， v4 两个调整  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xpYW9qaWFtaW4wMTAy_size_16_color_FFFFFF_t_70]
 *  v2， v4 跳转之后的节点情况如下表格所示

*  下一步选取v4， 因为v4.dist < v2.dist，标记v3的known = true， 顶点v3， v5，v6，v7,是邻接顶点，他们的实际值需要调整，如下图所示：

*  接着选取v2， 只有v4 ，v5是他邻接的顶点，但是v4已经是known我们不做处理，v5 邻接节点我们继续刚才那个步骤 ，那么dist = v2.dist + V\_25 = 2+10 =12,显然12 >3 ，因为v5 的最短路径现有的是3 所以，12 不是最优解，v5 保留现在的值不变。

*  下一个被选取的是v5，因为v5 是剩下unknown节点中dist最小的一个，那么v7 是他的邻接节点，同样算法，v7 = 3+6 >5，所有保留原来最优值，5 不变，接着v3，还是应为他是dist最小值，v3邻接节点v6 ，dist = 3+5 = 8 < 9，将v6 的dist下调到8 ，最后结果如下图：

*  接着继续选v7 ，邻接节点v6 下调到5+1 =6，得到如下：

*  最后选v6，

*  依据以上算法分析我们可以从某个顶点v开始到某顶点w的实际路径，可以编写一个递归案例跟踪Path变量的值来得到最短路径，如下代码实现：

/** * 最短路径算法 * @author liaojiamin * @Date:Created in 16:29 2020/12/28 */
    public class GraphShotLine { 
        //图节点数组
        private static final List<Vertex> vertexVraph = new ArrayList<>();
        private static final Integer MAX_DIST = Integer.MAX_VALUE;
    
        /** * 递归打印路径 * */
        public void printPath(Vertex v){ 
            if(v.getPath() != null){ 
                printPath(v.getPath());
            }
            System.out.println(v);
        }
    
        /** * 有权重图最短路径算法 * */
        public void dijkstra(Vertex s){ 
            for (Vertex vertex : vertexVraph) { 
                vertex.setDist(MAX_DIST);
                vertex.setKnow(false);
            }
            s.setDist(0);
            LinkedList<Vertex> sunVertexList = new LinkedList<>();
            sunVertexList.addFirst(s);
            while (sunVertexList.size() > 0){ 
                //每次取第一个最小值
                Vertex smallVertex = sunVertexList.removeFirst();
                smallVertex.setKnow(true);
                //保存需要添加的新节点
                LinkedList<Vertex> newVertexList = new LinkedList<>();
                for (Vertex vertex : smallVertex.getVertexList()) { 
                    if(!vertex.isKnow()){ 
                        Integer cvw = vertex.getWeight();
                        if(smallVertex.getDist() + cvw < vertex.getDist()){ 
                            vertex.setDist(smallVertex.getDist() + cvw);
                            vertex.setPath(smallVertex);
                            //处理过的节点才是之后可能的路径
                            newVertexList.add(vertex);
                        }
                    }
                }
                //将可能的路径按从小到大顺序加入有序队列
                sunVertexList.addAll(getSortVertex(newVertexList));
            }
        }
    
        /** * 对子节点列表进行从小到大排序 * */
        public LinkedList<Vertex> getSortVertex(List<Vertex> vertexs){ 
            if(vertexs.size() <= 0){ 
                return null;
            }
            for (int i = 0; i < vertexs.size(); i++) { 
                for(int j = i;j > 0;j--){ 
                    if(vertexs.get(j-1).compareTo(vertexs.get(j)) > 0 ){ 
                        Vertex vertex = vertexs.get(j-1);
                        vertexs.set(j-1, vertexs.get(j));
                        vertexs.set(j, vertex);
                    }
                }
            }
            return new LinkedList<>(vertexs);
        }
    
    }

*  如上算法中，每次节点w的举报变化时候，将w和新值d\_w插入到队列中，这样对优先队列中的每个顶点就可能有多个对象在队列中，当我们deletedMin（出队列首元素）操作将最小的顶点从队列中删除，必须坚持是否是known，如果是就忽略不处理，接着执行下一次deleteMin。
 *  算法的队列最大可能达到E （所有节点集合）这么多。由于E<=V^2，那么logE <= 2logv，因此并不影响时间界限

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[B]: https://blog.csdn.net/liaojiamin0102/article/details/111375342
[-]: https://blog.csdn.net/liaojiamin0102/article/details/112308538