随机向量x的协方差阵_概率ch4_4 矩、协方差矩阵

女爷i 2023-01-02 04:23 12阅读 0赞

**一、第4章知识结构**

![78d15280bf8530c795b3a7aa2b3124fb.png][]

**二、第4章第4节 主要内容及考研要求**

1. k阶原点矩的定义(理解、难点，记住1、2阶原点矩即可)；

2. k阶中心矩的定义(理解、难点，记住1、2阶中心矩即可)；

3.n维正态随机变量的四条重要性质(理解二维情况下的相关结论即可)；

**三、第4章考研必做习题**

浙大盛骤4版第4章习题：4、6、7、8、9、10、13、15、16、20、22、26、28、29、30、32、34、36

![9ba47e43805a13f72bb238ccce246fbb.png][]

**定义1**  设X, Y为随机变量,   k, l为正整数，称

![61d0847fd1e04d6b8601fb402fcee90e.png][]：为X的k阶原点矩( k阶矩)

![72a436c59074f55770769f52379b7ac5.png][]：为X的 k阶中心矩;

![522a1f5b1f785285fa049ee27e28d59f.png][]：为X和Y的k+l 阶混合矩;

![b7e002acf84af0789a62e5b7abf76ad4.png][]：为X和Y的k+l 阶混合中心矩

**注意**：(1)E(X)是X的一阶原点矩;

(2)D(X)是X的二阶中心矩;

(3)Cov(X, IN)是X和Y的二阶混合中心矩

**说明：** (1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望；(2)随机变量X的数学期望E(X)是X的一阶原点矩，方差为二阶中心矩协方差Cov(X,Y)是X与Y的二阶混合中心矩；(3)在实际应用中高于4阶的矩很少使用，三阶中心矩E\{\[X - E(X )\] \}主要用来衡量随机变量的分布是否有偏.四阶中心矩 ![d36986e6c97ed370aeee7f107e4bbf59.png][]主要用来衡量随机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.

**定义2**  设n维随机变量

![8ab5c5fbb4e14fdcdd7862b1ede78e68.png][]

的二阶混合中心矩都存在，称矩阵

![7b96093c683c6e4d4b94ac762826af99.png][]

为n维随机变量![8ab5c5fbb4e14fdcdd7862b1ede78e68.png][]的协方差矩阵。

其中，

![a2055767fe7d7c474ffa7a7f16005a7d.png][]

显然：

![c9f0d9bb56a9af96f99195ffac94b360.png][]

**协方差矩阵**可用来表示多维随机变量的概率密度,从而可通过协方差矩阵达到对多维随机变量的研究。一般的n维随机变量的分布难以知晓，或者过于复杂，以至于难以处理，因此协方差矩阵在实际应用中非常重要。 以二维正态随机变量为例：设

![dc8164f0d06a89c528751b3538cd9807.png][]

写出其协方差矩阵。

**解：**  因为由条件知：

![07f4356f5e46c52fcb6f17b76193cd6a.png][]

即：

![0c91445a0fc0119039dfba93e589d69c.png][]

所以，

![0c8936e24ca45b510509974c3d6c8e8e.png][]

所以，协方差矩阵为：

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[78d15280bf8530c795b3a7aa2b3124fb.png]: /images/20221120/2336886d24674b9b9ddc27bb38a78950.png
[9ba47e43805a13f72bb238ccce246fbb.png]: /images/20221120/76878261180e41989a134e86bc8b853a.png
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